Олимпиадные задачи из источника «глава 12. Вычисления и метрические соотношения» - сложность 3-4 с решениями

В плоскости дан треугольник <i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>A</i>₃ и прямая <i>l</i> вне его, образующая с продолжением сторон треугольника <i>A</i>₁<i>A</i>₂, <i>A</i>₂<i>A</i>₃, <i>A</i>₃<i>A</i>₁ соответственно углы α₃, α₁, α₂.  Через точки <i>A</i>₁, <i>A</i>₂, <i>A</i>₃ проводятся прямые, образующие с &l...

Квадрат <i>ABCD</i>вращается вокруг своего неподвижного центра. Найдите геометрическое место середин отрезков <i>PQ</i>, где <i>P</i> — основание перпендикуляра, опущенного из точки <i>D</i>на неподвижную прямую <i>l</i>, а <i>Q</i> — середина стороны <i>AB</i>.

В треугольнике <i>ABC</i>угол <i>C</i>прямой. Докажите, что при гомотетии с центром <i>C</i>и коэффициентом 2 вписанная окружность переходит в окружность, касающуюся описанной окружности.

Пусть <i>A</i>₄ — ортоцентр треугольника <i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>A</i>₃. Докажите, что существуют такие числа $\lambda_{1}^{}$,...,$\lambda_{4}^{}$, что <i>A</i>_i<i>A</i>_j²=$\lambda_{i}^{}$+$\lambda_{j}^{}$, причем, если треугольник не прямоугольный, то $\sum$(1/$\lambda_{i}^{}$) = 0.

Докажите, что сумма котангенсов углов треугольника <i>ABC</i>равна сумме котангенсов углов треугольника, составленного из медиан треугольника <i>ABC</i>.

Продолжения биссектрис треугольника <i>ABC</i>пересекают описанную окружность в точках <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁. Докажите, что <i>S</i>_ABC/<i>S</i>_A₁B₁C₁= 2<i>r</i>/<i>R</i>, где <i>r</i>и <i>R</i> — радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника <i>ABC</i>.

Докажите, что если <i>ctg</i>($\alpha$/2) = (<i>b</i>+<i>c</i>)/<i>a</i>, то треугольник прямоугольный.

Центры окружностей с радиусами 1, 3 и 4 расположены на сторонах <i>AD</i>и <i>BC</i>прямоугольника <i>ABCD</i>. Эти окружности касаются друг друга и прямых <i>AB</i>и <i>CD</i>так, как показано на рис. Докажите, что существует окружность, касающаяся всех этих окружностей и прямой <i>AB</i>.

<div align="center"><img src="/storage/problem-media/57650/problem_57650_img_2.gif" border="1"></div>

На отрезке <i>AB</i>взята точка <i>C</i>и на отрезках <i>AC</i>,<i>BC</i>и <i>AB</i>как на диаметрах построены полуокружности, лежащие по одну сторону от прямой <i>AB</i>. Через точку <i>C</i>проведена прямая, перпендикулярная <i>AB</i>, и в образовавшиеся криволинейные треугольники <i>ACD</i>и <i>BCD</i>вписаны окружности <i>S</i>₁и <i>S</i>₂(рис.). Докажите, что радиусы этих окружностей равны.

<div align="center"><img src="/storage/problem-media/57649/problem_57649_img_2.gif" border="1"></div>

В окружность вписан квадрат, а в сегмент, отсеченный от круга из сторон этого квадрата, вписан другой квадрат. Найдите отношение длин сторон этих квадратов.

Найдите отношение сторон треугольника, одна из медиан которого делится вписанной окружностью на три равные части.

Хорда окружности удалена от центра на расстояние <i>h</i>. В каждый из сегментов, стягиваемых хордой, вписан квадрат так, что две соседние вершины квадрата лежат на дуге, а две другие — на хорде или ее продолжении (рис.). Чему равна разность длин сторон этих квадратов?

<div align="center"><img src="/storage/problem-media/57646/problem_57646_img_2.gif" border="1"></div>

Пусть <i>E</i> — середина стороны <i>AB</i>квадрата <i>ABCD</i>, а точки <i>F</i>и <i>G</i>выбраны на сторонах <i>BC</i>и <i>CD</i>так, что <i>AG</i>|<i>EF</i>. Докажите, что отрезок <i>FG</i>касается окружности, вписанной в квадрат <i>ABCD</i>.

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i>отрезки <i>BO</i>и <i>CO</i>, где <i>O</i> — центр описанной окружности, продолжены до пересечения в точках <i>D</i>и <i>E</i>со сторонами <i>AC</i>и <i>AB</i>. Оказалось, что $\angle$<i>BDE</i>= 50^<tt>o</tt>и $\angle$<i>CED</i>= 30^<tt>o</tt>. Найдите величины углов треугольника <i>ABC</i>.

В равнобедренном треугольнике <i>ABC</i>с основанием <i>AC</i>угол при вершине <i>B</i>равен 20^<tt>o</tt>. На сторонах <i>BC</i>и <i>AB</i>взяты точки <i>D</i>и <i>E</i>соответственно так, что $\angle$<i>DAC</i>= 60^<tt>o</tt>и $\angle$<i>ECA</i>= 50^<tt>o</tt>. Найдите угол <i>ADE</i>.

В равнобедренном треугольнике <i>ABC</i> с основанием <i>BC</i> угол при вершине <i>A</i> равен 80°. Внутри треугольника <i>ABC</i> взята точка <i>M</i> так, что ∠<i>MBC</i> = 30°  и  ∠<i>MCB</i> = 10°.  Найдите величину угла <i>AMC</i>.

В треугольнике <i>ABC</i>проведена биссектриса <i>BE</i>и на стороне <i>BC</i>взята точка <i>K</i>так, что $\angle$<i>AKB</i>= 2$\angle$<i>AEB</i>. Найдите величину угла <i>AKE</i>, если $\angle$<i>AEB</i>=$\alpha$.

В треугольнике <i>ABC</i>угол <i>C</i>вдвое больше угла <i>A</i>и <i>b</i>= 2<i>a</i>. Найдите углы этого треугольника.

В прямоугольном треугольнике <i>ABC</i>с прямым углом <i>A</i>на высоте <i>AD</i>как на диаметре построена окружность, пересекающая сторону <i>AB</i>в точке <i>K</i>и сторону <i>AC</i>в точке <i>M</i>. Отрезки <i>AD</i>и <i>KM</i>пересекаются в точке <i>L</i>. Найдите острые углы треугольника <i>ABC</i>, если известно, что <i>AK</i>:<i>AL</i>=<i>AL</i>:<i>AM</i>.

Найдите угол <i>B</i>треугольника <i>ABC</i>, если длина высоты <i>CH</i>равна половине длины стороны <i>AB</i>, а $\angle$<i>BAC</i>= 75^<tt>o</tt>.

α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что для непрямоугольного треугольника <i>tg</i>$\alpha$+<i>tg</i>$\beta$+<i>tg</i>$\gamma$= 4<i>S</i>/(<i>a</i>²+<i>b</i>²+<i>c</i>²- 8<i>R</i>²).

α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что а) <i>ctg</i>$\alpha$<i>ctg</i>$\beta$+<i>ctg</i>$\beta$<i>ctg</i>$\gamma$+<i>ctg</i>$\alpha$<i>ctg</i>$\gamma$= 1; б) <i>ctg</i>$\alpha$+<i>ctg</i>$\beta$+<i>ctg</i>$\gamma$-<i>ctg</i>$\alpha$<i>ctg</i>$\beta$<i>ctg</i>$\gamma$= 1/(sin$\alpha$sin$\beta$sin$\gamma$).

Пусть α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что а) <i>ctg</i>$\alpha$+<i>ctg</i>$\beta$+<i>ctg</i>$\gamma$= (<i>a</i>²+<i>b</i>²+<i>c</i>²)/4<i>S</i>; б) <i>a</i>²<i>ctg</i>$\alpha$+<i>b</i>²<i>ctg</i>$\beta$+<i>c</i>²<i>ctg</i>$\gamma$= 4<i>S</i>.

Докажите, что если<div align="CENTER"> sin$\displaystyle \alpha$ + sin$\displaystyle \beta$ + sin$\displaystyle \gamma$ = $\displaystyle \sqrt{3}$(cos$\displaystyle \alpha$ + cos$\displaystyle \beta$ + cos$\displaystyle \gamma$), </div>то один из углов треугольника<i>ABC</i>равен60^<tt>o</tt>.

а) Докажите, что если для некоторого треугольника <i>p</i>= 2<i>R</i>+<i>r</i>, то этот треугольник прямоугольный. б) Докажите, что если <i>p</i>= 2<i>R</i>sin$\varphi$+<i>rctg</i>($\varphi$/2), то $\varphi$ — один из углов треугольника (предполагается, что 0 <$\varphi$<$\pi$).