Задача
В прямоугольном треугольнике ABCс прямым углом Aна высоте ADкак на диаметре построена окружность, пересекающая сторону ABв точке Kи сторону ACв точке M. Отрезки ADи KMпересекаются в точке L. Найдите острые углы треугольника ABC, если известно, что AK:AL=AL:AM.
Решение
Ясно, что AKDM — прямоугольник и L — точка пересечения его диагоналей. Так как AD$\perp$BCи AM$\perp$BA, то $\angle$DAM=$\angle$ABC. Аналогично, $\angle$KAD=$\angle$ACB. Опустим из точки Aперпендикуляр APна прямую KM. Пусть для определенности $\angle$B<$\angle$C. Тогда точка Pлежит на отрезке KL. Из подобия треугольников AKPи MKAполучаем AK:AP=MK:MA. Поэтому AK . AM=AP . MK=AP . AD= 2AP . AL. По условию AL2=AK . AM, следовательно, AL= 2AP, т. е. $\angle$ALP= 30o. Ясно, что $\angle$KMA=$\angle$ALP/2 = 15o. Поэтому острые углы треугольника ABCравны 15 и 75o.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь