Задача
а) Докажите, что если для некоторого треугольника p= 2R+r, то этот треугольник прямоугольный. б) Докажите, что если p= 2Rsin$\varphi$+rctg($\varphi$/2), то $\varphi$ — один из углов треугольника (предполагается, что 0 <$\varphi$<$\pi$).
Решение
Решим сразу задачу б), частным случаем которой является задача а). Так как ctg($\varphi$/2) = sin$\varphi$/(1 - cos$\varphi$), то p2(1 -x)2= (1 -x2)(2R(1 -x) +r)2, где x= cos$\varphi$. Корень x0= 1 этого уравнения нас не интересует, так как в этом случае ctg($\varphi$/2) был бы не определен; поэтому, сократив обе части уравнения на 1 -x, придем к кубическому уравнению. Использовав результаты задач 12.38, 12.39, б), 12.41, б), можно проверить, что это уравнение совпадает с уравнением (x- cos$\alpha$)(x- cos$\beta$)(x- cos$\gamma$) = 0, где $\alpha$,$\beta$и $\gamma$ — углы треугольника. Значит, косинус угла $\varphi$равен косинусу одного из углов треугольника; кроме того, косинус монотонен на интервале от 0 до $\pi$.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь