Олимпиадные задачи из источника «глава 31. Эллипс, парабола, гипербола» для 10 класса
глава 31. Эллипс, парабола, гипербола
НазадНайдите уравнение гиперболы Енжабика в трилинейных коордитнатах.
Найдите уравнение центра гиперболы Киперта: а) в трилинейных координатах; б) в барицентрических координатах.
На сторонах<i>AB</i>,<i>BC</i>и<i>CA</i>треугольника<i>ABC</i>построены равнобедренные треугольники<i>AC</i><sub>1</sub><i>B</i>,<i>BA</i><sub>1</sub><i>C</i>,<i>AB</i><sub>1</sub><i>C</i>с углом при основании$\varphi$(все три внешним или внутренним образом одновременно). Докажите, что прямые<i>AA</i><sub>1</sub>,<i>BB</i><sub>1</sub>и<i>CC</i><sub>1</sub>пересекаются в одной точке, лежащей на гиперболе Киперта. Замечание. На гиперболе Киперта лежат следующие точки: ортоцентр ($\varphi$=$\pi$/2), центр масс ($\varphi$= 0), точки Торричелли ($\varphi$= ±$\pi$/3), вер...
Найдите уравнение гиперболы Киперта: а) в трилинейных координатах; б) в барицентрических координатах.
а) Докажите, что кривая, изогонально сопряженная прямой, проходящей через центр<i>O</i>описанной окружности, является равнобочной гиперболой, проходящей через вершины треугольника. б) Докажите, что центр этой коники лежит на окружности девяти точек.
Дан треугольник<i>ABC</i>и прямая<i>l</i>, не проходящая через его вершины. а) Докажите, что кривая, изогонально сопряжённая прямой<i>l</i>, является эллипсом, если<i>l</i>не пересекает описанную окружность треугольника<i>ABC</i>; параболой если<i>l</i>касается описанной окружности; гиперболой если<i>l</i>пресекает описанную окружность в двух точках. б) Докажите, что кривая, изотомически сопряжённая прямой<i>l</i>, является эллипсом, если<i>l</i>не пересекает описанный эллипс Штейнера треугольника<i>ABC</i>; параболой если<i>l</i>касается эллипса Штейнера; гиперболой если<i>l</i>пресекает эллипс Штейнера в двух точках.
Докажите, что кривая, изогонально сопряженная прямой, не проходящей через вершины треугольника, является коникой, проходящей через вершины треугольника.
Коника задаётся в барицентрических координатах уравнением<div align="CENTER"> <i>p</i>$\displaystyle \alpha$$\displaystyle \beta$ + <i>q</i>$\displaystyle \alpha$$\displaystyle \gamma$ + <i>r</i>$\displaystyle \beta$$\displaystyle \gamma$ = 0. </div>Докажите, что её центр имеет барицентрические координаты<div align="CENTER"> $\displaystyle \bigl($<i>r</i>(<i>p</i> + <i>q</i> - <i>r</i>) : <i>q</i>(<i>p</i> + <i>r</i> - <i>q</i>) : <i>p</i>(<i>r</i> + <i>q</i> - <i>p</i>)$\displaystyle \bigr)$. </div>
а) Докажите, что в трилинейных координатах описанная коника (т.е. коника, проходящая через все вершины треугольника) задаётся уравнением вида<div align="CENTER"> <i>pxy</i> + <i>qxz</i> + <i>rzy</i> = 0. </div> б) Докажите, что в трилинейных координатах коника, касающаяся всех сторон треугольника или их продолжений, задаётся уравнением вида<div align="CENTER"> <i>px</i><sup>2</sup> + <i>qy</i><sup>2</sup> + <i>rz</i><sup>2</sup> = 2(±$\displaystyle \sqrt{pq}$<i>xy</i>±$\displaystyle \sqrt{pr}$<i>xz</i>±$\displaystyle \sqrt{qr}$<i>yz</i>). </div>
Докажите, что если бесконечное множество точек обладает тем свойством, что расстояние между любыми двумя точками является целым числом, то все эти точки лежат на одной прямой.
Докажите, что две несовпадающие коники имеют не более четырех общих точек.
Пусть$\left(\vphantom{\frac{P(t)}{A(t)},\frac{Q(t)}{A(t)}}\right.$${\frac{P(t)}{A(t)}}$,${\frac{Q(t)}{A(t)}}$$\left.\vphantom{\frac{P(t)}{A(t)},\frac{Q(t)}{A(t)}}\right)$— рациональная параметризация коники, построенная при решении задачи <a href="https://mirolimp.ru/tasks/158538">31.071</a>. Докажите, что степень каждого из многочленов<i>A</i>,<i>P</i>,<i>Q</i>не превосходит 2.
Постройте рациональную параметризацию окружности<i>x</i><sup>2</sup>+<i>y</i><sup>2</sup>= 1, проведя прямые через точку (1, 0).
Докажите, что для любой коники можно выбрать многочлены<i>A</i>(<i>t</i>),<i>P</i>(<i>t</i>) и<i>Q</i>(<i>t</i>) так, что при изменении<i>t</i>от -$\infty$до +$\infty$точки$\left(\vphantom{\frac{P(t)}{A(t)},\frac{Q(t)}{A(t)}}\right.$${\frac{P(t)}{A(t)}}$,${\frac{Q(t)}{A(t)}}$$\left.\vphantom{\frac{P(t)}{A(t)},\frac{Q(t)}{A(t)}}\right)$заметают всю данную конику, кроме, быть может, одной точки.
Докажите, что центры всех правильных треугольников, вписанных в данную конику, лежат на некоторой конике.
Через каждую точку<i>X</i>, лежащую внутри данной окружности<i>S</i>, проводится прямая<i>l</i>, ортогональная прямой<i>XO</i>, где<i>O</i>— данная точка, не лежащая на окружности<i>S</i>. Описать множество, заметаемое всеми прямыми <i>l</i>.
По прямым<i>l</i>и<i>l'</i>с постоянными скоростями<i>v</i> ≠ <i>v'</i>движутся точки<i>X</i>и<i>X'</i>. Какое множество заметают прямые <i>XX'</i>?
Даны точка<i>O</i>и прямая<i>l</i>. Точка<i>X</i>движется по прямой<i>l</i>. Описать множество, которое заметают перпендикуляры к прямой<i>XO</i>, восставленные из точки <i>X</i>.
На плоскости даны точки<i>A</i><sub>t</sub>= (1 +<i>t</i>, 1 +<i>t</i>) и<i>B</i><sub>t</sub>= (- 1 +<i>t</i>, 1 -<i>t</i>). Описать множество, заметаемое всеми прямыми<i>A</i><sub>t</sub><i>B</i><sub>t</sub>для всех вещественных чисел<i>t</i>.
Докажите, что множество всех центров окружностей, проходящих через данную точку и касающихся данной окружности (или прямой), не содержащей данную точку, представляет собой эллипс или гиперболу (или параболу).
Докажите, что множество точек, равноудаленных от данной точки и данной окружности, представляет собой эллипс, гиперболу или луч.
Вершины<i>A</i>и<i>B</i>треугольника<i>ABC</i>скользят по сторонам прямого угла. Докажите, что если угол<i>C</i>не прямой, то вершина<i>C</i>перемещается при этом по эллипсу.
Пусть<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>,<i>d</i>— фиксированные числа. Докажите, что когда угол$\varphi$пробегает все возможные значения, точки с координатами<div align="CENTER"> <i>x</i> = <i>a</i> cos$\displaystyle \varphi$ + <i>b</i> sin$\displaystyle \varphi$, <i>y</i> = <i>c</i> cos$\displaystyle \varphi$ + <i>d</i> sin$\displaystyle \varphi$ </div>заметают эллипс или отрезок.
Пусть<i>a</i>и<i>b</i>— фиксированные комплексные числа. Докажите, что при изменении φ от 0 до 2π точки вида<i>ae</i><sup>i$\scriptstyle \varphi$</sup>+<i>be</i><sup>-i$\scriptstyle \varphi$</sup>заметают эллипс или отрезок.
Пусть коники$\Gamma$и$\Gamma_{1}^{}$касаются в точках<i>A</i>и<i>B</i>, a коники$\Gamma$и$\Gamma_{2}^{}$касаются в точках<i>C</i>и<i>D</i>, причем$\Gamma_{1}^{}$и$\Gamma_{2}^{}$имеют четыре общие точки. Тогда у коник$\Gamma_{1}^{}$и$\Gamma_{2}^{}$есть пара общих хорд, проходящих через точку пересечения прямых<i>AB</i>и<i>CD</i>.