Результат задачи 31.051можно применять и в том случае, когда некоторые пары точек сливаются, т. е. коники не только проходят через данную точку, но и касаются друг друга в этой точке. Пустьp₁= 0 иp₂= 0 — уравнения общих касательных к коникам$\Gamma$и$\Gamma_{1}^{}$в точкахAиB,q= 0 — уравнение прямойAB. Тогда уравнения коник$\Gamma$и$\Gamma_{1}^{}$можно представить в видеf=$\lambda$p₁p₂+$\mu$q²= 0 иf₁=$\lambda_{1}^{}$p₁p₂+$\mu_{1}^{}$q²= 0. Домноживf₁на$\lambda$/$\lambda_{1}^{}$, можно считать, что$\lambda$=$\lambda_{1}^{}$, а значит,f₁=f+$\alpha$q². Аналогичноf₂=f+$\beta$r², гдеr= 0 — уравнение прямойCD. Рассмотрим уравнениеf₁-f₂= 0, т. е.$\alpha$q²-$\beta$r²= 0. Ему удовлетворяют четыре общие точки коник$\Gamma_{1}^{}$и$\Gamma_{2}^{}$. С другой стороны, это уравнение разлагается в произведение линейных уравнений$\sqrt{\alpha}$q+$\sqrt{\beta}$r= 0 и$\sqrt{\alpha}$q-$\sqrt{\beta}$r= 0. Следовательно, прямые$\sqrt{\alpha}$q±$\sqrt{\beta}$r= 0 содержат общие хорды коник$\Gamma_{1}^{}$и$\Gamma_{2}^{}$. Ясно также, что точка пересечения этих прямых совпадает с точкой пересечения прямыхq= 0 иr= 0.

Ответ задачи отсутствует