Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Классификация кривых второго порядка»

Докажите, что если<i>ac</i>-<i>b</i>²= 0, то кривая<i>Q</i>(<i>x</i>, <i>y</i>) + 2<i>dx</i> + 2<i>ey</i> = <i>f</i>, где<i>Q</i> (<i>x</i>, <i>y</i>) = <i>ax</i>² + 2<i>bxy</i> + <i>cy</i>²изометрична либо кривой<i>y</i>²= 2<i>px</i>(называемой<i>параболой</i>), либо паре параллельных прямых<i>y</i>²=<i>c</i>², либо паре слившихся прямых<i>y</i>²= 0, либо представляет собой пустое множество.

Докажите, что если<i>ac</i>-<i>b</i>²≠ 0, то кривая<i>Q</i>(<i>x</i>, <i>y</i>) + 2<i>dx</i> + 2<i>ey</i> = <i>f</i>, где<i>Q</i> (<i>x</i>, <i>y</i>) = <i>ax</i>² + 2<i>bxy</i> + <i>cy</i>²изометрична либо кривой${\dfrac{x^2}{\alpha^2}}$+${\dfrac{y^2}{\beta^2}}$= 1 (называемой<i>эллипсом</i>), либо кривой${\dfrac{x^2}{\alpha^2}}$-${\dfrac{y^2}{\beta^2}}$= 1, (называемой<i>гиперболой</i>), либо паре пересекающихся прямых${\dfrac{x^2}{\alpha^2}}$=${\dfrac{y^2}{\beta^2}}$, либо представляет собой одну точку или пустое множество.

Докажите, что при повороте<i>x</i>'' =<i>x</i>'cosφ +<i>y</i>'sinφ,  <i>y</i>'' = -<i>x</i>'sinφ +<i>y</i>'cosφ выражение<i>ax</i>'²+ 2<i>bx</i>'<i>y</i>' +<i>cy</i>'²переходит в<i>a</i>₁<i>x</i>'²+ 2<i>b</i>₁<i>x</i>''<i>y</i>'' +<i>c</i>₁<i>y</i>'², причём<i>a</i>₁<i>c</i><sub>1</sub&gt...

Докажите, что с помощью поворота<div align="CENTER"> <i>x''</i> = <i>x'</i>cosφ + <i>y'</i>sinφ,    <i>y''</i> = - <i>x'</i>sinφ + <i>y'</i>cosφ </div> в уравнении<i>ax</i>'²+ 2<i>bx</i>'<i>y</i>' +<i>cy</i>'²=<i>f</i>' коэффициент при<i>x</i>'<i>y</i>' можно сделать равным нулю.

Докажите, что если<i>ac</i>-<i>b</i>² ≠ 0, то с помощью параллельного переноса<i>x</i>' =<i>x</i>+<i>x</i>₀,<i>y</i>' =<i>y</i>+<i>y</i>₀уравнение<i>Q</i>(<i>x</i>, <i>y</i>) + 2<i>dx</i> + 2<i>ey</i> = <i>f</i>, где<i>Q</i> (<i>x</i>, <i>y</i>) = <i>ax</i>² + 2<i>bxy</i> + <i>cy</i>²можно привести к виду <div align="CENTER"><i>ax</i>'² + 2<i>bx</i>'<i>y...