Задача
Через каждую точкуX, лежащую внутри данной окружностиS, проводится прямаяl, ортогональная прямойXO, гдеO— данная точка, не лежащая на окружностиS. Описать множество, заметаемое всеми прямыми l.
Решение
Можно считать, что центр окружностиSрасположен в начале координат, а точкаXимеет координаты (c, 0). ТочкаA= (x,y) принадлежит искомому множеству тогда и только тогда, когда окружностьSпересекает окружностьS1с диаметромAO. Пустьa— радиус окружностиS,R— радиус окружностиS1,d— расстояние между центрами этих окружностей. ОкружностиSиS1пересекаются тогда и только тогда, когда из отрезковa,d,Rможно составить треугольник, т. е.
(R - a)2 $\displaystyle \leqslant$ d2 $\displaystyle \leqslant$ (R + a)2.
Учитывая, что4d2= (x+c)2+y2и4R2= (x-c)2+y2, приходим к
неравенству
a2 - 2ra $\displaystyle \leqslant$ cx $\displaystyle \leqslant$ 2Ra + a2,
которое эквивалентно неравенству(cx-a2)2$\leqslant$4a2R2, т. е.
(c2 - a2)x2 - a2y2 $\displaystyle \leqslant$ a2(c2 - a2).
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет