Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Эллипс»
параграф 2. Эллипс
Назад<i>N</i>окружностей, центры которых лежат на большой оси эллипса, касаются эллипса. При этом окружность радиуса<i>r</i><sub>i</sub>(2$\leqslant$<i>i</i>$\leqslant$<i>N</i>- 1) касается окружностей радиуса<i>r</i><sub>i - 1</sub>и<i>r</i><sub>i + 1</sub>. Докажите, что если 3<i>n</i>- 2 ><i>N</i>, то<div align="CENTER"> <i>r</i><sub>2n - 1</sub>(<i>r</i><sub>1</sub> + <i>r</i><sub>2n - 1</sub>) = <i>r</i><sub>n</sub>(<i>r</i><sub>n</sub> + <i>r</i><sub>3n - 2</sub>). </div>
Три окружности, центры которых лежат на большой оси эллипса, касаются эллипса. При этом окружность радиуса<i>r</i><sub>2</sub>касается (внешним образом) окружностей радиуса<i>r</i><sub>1</sub>и<i>r</i><sub>3</sub>. Докажите, что<div align="CENTER"> <i>r</i><sub>1</sub> + <i>r</i><sub>3</sub> = $\displaystyle {\frac{2a^2(a^2-2b^2)}{a^4}}$<i>r</i><sub>2</sub>. </div>
Окружность радиуса<i>r</i>с центром<i>C</i>, лежащим на большей полуоси эллипса, касается эллипса в двух точках;<i>O</i> — центр эллипса,<i>a</i>и<i>b</i> — его полуоси. Докажите, что<div align="CENTER"> <i>OC</i><sup>2</sup> = $\displaystyle {\frac{(a^2-b^2)(b^2-r^2)}{b^2}}$. </div>
К эллипсу с центром<i>O</i>проведены две параллельные касательные<i>l</i><sub>1</sub>и<i>l</i><sub>2</sub>. Окружность с центром<i>O</i><sub>1</sub>касается (внешним образом) эллипса и прямых<i>l</i><sub>1</sub>и<i>l</i><sub>2</sub>. Докажите, что длина отрезка<i>OO</i><sub>1</sub>равна сумме полуосей эллипса.
а) Из точки<i>O</i>проведены касательные<i>OP</i>и<i>OQ</i>к эллипсу с фокусами<i>F</i><sub>1</sub>и<i>F</i><sub>2</sub>. Докажите, что<div align="CENTER"> $\displaystyle \angle$<i>POQ</i> = $\displaystyle \pi$ - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$($\displaystyle \angle$<i>PF</i><sub>1</sub><i>O</i> + $\displaystyle \angle$<i>PF</i><sub>2</sub><i>O</i>). </div> б) Отрезок<i>AB</i>виден из фокусов<i>F</i><sub>1</sub>и<i>F</i><sub>2</sub>под углами$\varphi_{1}^{}$и$\varphi_{2}^{}$, соответственно. Докажите, что$\varphi_{1}^{}$ + $\varphi_{2}^...
Окружность, центр которой лежит на эллипсе, касается двух сопряженных диаметров. Докажите, что радиус окружности не зависит от выбора сопряженных диаметров.
Докажите, что все вписанные в эллипс ромбы описаны вокруг одной окружности.
Нормаль к эллипсу в точке<i>A</i>пересекает малую полуось в точке<i>Q</i>,<i>P</i>— проекция центра эллипса на нормаль. Докажите, что<i>AP</i><sup> . </sup><i>AQ</i>=<i>a</i><sup>2</sup>, где<i>a</i>— большая полуось.
а) Пусть<i>AA'</i>и<i>BB'</i>— сопряженные диаметры эллипса с центром<i>O</i>. Проведем через точку<i>B</i>перпендикуляр к прямой<i>OA</i>и отложим на нем отрезки<i>BP</i>и<i>BQ</i>, равные<i>OA</i>. Докажите, что главные оси эллипса являются биссектрисами углов между прямыми<i>OP</i>и <i>OQ</i>. б) На плоскости нарисована пара сопряженных диаметров эллипса. С помощью циркуля и линейки постройте его оси.
Хорда<i>PQ</i>окружности<i>x</i><sup>2</sup>+<i>y</i><sup>2</sup>=<i>a</i><sup>2</sup>+<i>b</i><sup>2</sup>с центром<i>O</i>касается эллипса${\dfrac{x^2}{a^2}}$+${\dfrac{y^2}{b^2}}$= 1. Докажите, что прямые<i>PO</i>и<i>QO</i>содержат сопряженные диаметры эллипса.
Вокруг эллипса описан прямоугольник. Докажите, что длина его диагонали не зависит от положения прямоугольника.
а) Докажите, что отношение расстояний от точки эллипса до фокуса и до одной из директрис равно эксцентриситету <i>e</i>. б) Даны точка<i>F</i>и прямая<i>l</i>. Докажите, что множество точек<i>X</i>, для которых отношение расстояния от<i>X</i>до<i>F</i>к расстоянию от<i>X</i>до<i>l</i>равно постоянному числу<i>e</i>< 1, — эллипс.
Параллелограмм описан около эллипса. Докажите, что диагонали параллелограмма содержат сопряженные диаметры эллипса.
В четырёхугольник<i>ABCD</i>вписан эллипс с фокусом<i>F</i>. Докажите, что$\angle$<i>AFB</i>+$\angle$<i>CFD</i>= 180<sup><tt>o</tt></sup>.
В треугольник вписан эллипс. Докажите, что фокусы эллипса изогонально сопряжены относительно этого треугольника.
Из точки<i>O</i>проведены касательные<i>OA</i>и<i>OB</i>к эллипсу с фокусами<i>F</i><sub>1</sub>и<i>F</i><sub>2</sub>. Докажите, что$\angle$<i>AOF</i><sub>1</sub>=$\angle$<i>BOF</i><sub>2</sub>и$\angle$<i>AF</i><sub>1</sub><i>O</i>=$\angle$<i>BF</i><sub>1</sub><i>O</i>.
а) Докажите, что проекции фокусов эллипса на все касательные лежат на одной окружности. б) Пусть<i>d</i><sub>1</sub>и<i>d</i><sub>2</sub>— расстояния от фокусов эллипса до касательной. Докажите, что величина<i>d</i><sub>1</sub><i>d</i><sub>2</sub>не зависит от выбора касательной.
Пусть<i>AA'</i>и<i>BB'</i>— сопряженные диаметры эллипса с центром<i>O</i>. Докажите, что: а) площадь треугольника AOB не зависит от выбора сопряженных диаметров; б) величина OA<sup>2</sup>+OB<sup>2</sup>не зависит от выбора сопряженных диаметров.
а) Докажите, что для любого параллелограмма существует эллипс, касающийся сторон параллелограмма в их серединах. б) Докажите, что для любого треугольника существует эллипс, касающийся сторон треугольника в их серединах.
Докажите, что эллиптическое зеркало обладает тем свойством, что пучок лучей света, исходящий из одного фокуса, сходится в другом.
Докажите, что уравнение касательной к эллипсу${\frac{x^2}{a^2}}$+${\frac{y^2}{b^2}}$= 1, проведенной в точке<i>X</i>= (<i>x</i><sub>0</sub>,<i>y</i><sub>0</sub>), имеет вид<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{x_0x}{a^2}}$ + $\displaystyle {\frac{y_0y}{b^2}}$ = 1. </div>
Докажите, что середины параллельных хорд эллипса лежат на одной прямой.
Докажите, что множество точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точек<i>F</i><sub>1</sub>и<i>F</i><sub>2</sub>— постоянная величина, есть эллипс.