Задачи и олимпиады по математике

Задача

Докажите, что центры всех правильных треугольников, вписанных в данную конику, лежат на некоторой конике.

Решение

Можно считать, что уравнение коники имеет вид

A(z² + $\displaystyle \bar{z}^{2}_{}$) + Bz$\displaystyle \bar{z}$ + Cz + $\displaystyle \bar{C}$$\displaystyle \bar{z}$ + D = 0.

(*)

В самом деле, эллипс и гиперболу можно задать уравнениемA(z²+$\bar{z}^{2}_{}$) +Bz$\bar{z}$= 1 (приB< 2Aполучаем эллипс, а приB> 2Aполучаем гиперболу); параболу можно задать уравнением

z² + $\displaystyle \bar{z}^{2}_{}$ + 2z$\displaystyle \bar{z}$ + 2iz - 2i$\displaystyle \bar{z}$ = 0.

Пустьu— центр правильного треугольника с вершинамиu+v$\varepsilon^{k}_{}$, гдеk= 1, 2, 3 и$\varepsilon$= exp(2$\pi$i/3). Если этот треугольник вписан в конику (*), то числаz_k=u+v$\varepsilon^{k}_{}$,k= 1, 2, 3, удовлетворяют соотношению (*). Сложив три таких равенства, получим

A(u² + $\displaystyle \bar{u}^{2}_{}$) + B(u$\displaystyle \bar{u}$ + v$\displaystyle \bar{v}$) + Cu + $\displaystyle \bar{C}$$\displaystyle \bar{u}$ + D = 0

(**)

(мы воспользовались тем, что$\varepsilon^{1}_{}$+$\varepsilon^{2}_{}$+$\varepsilon^{3}_{}$= 0). Подставим в (*) значениеz=z₃=u+vи вычтем из (**) полученное соотношение. В результате получим$\Re$(Fv+A$\bar{v}^{2}_{}$) = 0, гдеF= 2Au+B$\bar{u}$+C. Проделав аналогичные вычисления дляz=z₁=u+v$\varepsilon$, получимFv+A$\bar{v}^{2}_{}$= 0. Так какv$\not=$0, то приA$\not=$0

| v|² = | 2Au + B$\displaystyle \bar{u}$ + C|²A^-2;

(***)

случайA= 0 соответствует окружности. Подставив (***) в (**), получим уравнение требуемой коники. Отметим, что вторая коника совпадает с исходной тогда и только тогда, когдаB= 0, т. е. в случае равнобочной гиперболы.

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Задача

Решение

Ответ

Подтверждение удаления