Олимпиадные задачи из источника «глава 19. Гомотетия и поворотная гомотетия» - сложность 3-5 с решениями

Выпуклый многоугольник обладает следующим свойством: если все прямые, на которых лежат его стороны, параллельно перенести на расстояние 1 во внешнюю сторону, то полученные прямые образуют многоугольник, подобный исходному, причём параллельные стороны окажутся пропорциональными. Доказать, что в данный многоугольник можно вписать окружность.

Имеется два правильных пятиугольника с одной общей вершиной. Вершины каждого пятиугольника нумеруются по часовой стрелке цифрами от 1 до 5, причём в общей вершине ставится цифра 1. Вершины с одинаковыми номерами соединены прямыми. Доказать, что полученные четыре прямые пересекаются в одной точке.

а) Докажите, что прямые, проходящие через вершины треугольника<i>ABC</i>параллельно сторонам треугольника Брокара<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁(через<i>A</i>проходит прямая, параллельная<i>B</i>₁<i>C</i>₁, и т. п.), пересекаются в одной точке<i>S</i>(<i>точка Штейнера</i>), причем эта точка лежит на описанной окружности треугольника<i>ABC</i>. б) Докажите, что прямая Симсона точки Штейнера параллельна диаметру Брокара.

Докажите, что вершинами треугольника Брокара<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁являются точки пересечения окружности Брокара с прямыми, проходящими через точку Лемуана параллельно сторонам треугольника<i>ABC</i>.

Пусть <i>O</i> — центр описанной окружности треугольника<i>ABC</i>,<i>K</i> — точка Лемуана,<i>P</i>и <i>Q</i> — точки Брокара,$\varphi$ — угол Брокара. Докажите, что точки <i>P</i>и <i>Q</i>лежат на окружности с диаметром<i>KO</i>, причем<i>OP</i>=<i>OQ</i>и $\angle$<i>POQ</i>= 2$\varphi$.

Докажите, что окружностью подобия треугольника<i>ABC</i>является окружность с диаметром<i>KO</i>, где <i>K</i> — точка Лемуана,<i>O</i> — центр описанной окружности.

Докажите, что постоянные точки трех подобных фигур являются их соответственными точками.

Докажите, что постоянный треугольник трех подобных фигур подобен треугольнику, образованному их соответственными прямыми, причем эти треугольники противоположно ориентированы.

Пусть <i>l</i>₁,<i>l</i>₂и <i>l</i>₃ — соответственные прямые подобных фигур <i>F</i>₁,<i>F</i>₂и <i>F</i>₃, пересекающиеся в точке <i>W</i>. а) Докажите, что точка <i>W</i>лежит на окружности подобия фигур <i>F</i>₁,<i>F</i>₂и <i>F</i>₃. б) Пусть <i>J</i>₁,<i>J</i>₂и <i>J</i>₃ — точки пересечения прямых <i>l</i>₁,<i...

Пусть<i>A</i>₁<i>B</i>₁,<i>A</i>₂<i>B</i>₂и <i>A</i>₃<i>B</i>₃, а также<i>A</i>₁<i>C</i>₁,<i>A</i>₂<i>C</i>₂и <i>A</i>₃<i>C</i>₃ — соответственные отрезки подобных фигур <i>F</i>₁,<i>F</i>₂и <i>F</i>₃. Докажите, что треугольник, образованный прямыми<i>A</i><su...

Прямые<i>A</i>₂<i>B</i>₂и <i>A</i>₃<i>B</i>₃,<i>A</i>₃<i>B</i>₃и <i>A</i>₁<i>B</i>₁,<i>A</i>₁<i>B</i>₁и <i>A</i>₂<i>B</i>₂пересекаются в точках <i>P</i>₁,<i>P</i>₂,<i>P</i>₃соответственно. а) Докажите, что описанные окружности треугольников<i>A</i><sub>1&lt...

а) На сторонах треугольника<i>ABC</i>построены собственно подобные треугольники<i>A</i>₁<i>BC</i>,<i>CAB</i>₁и<i>BC</i>₁<i>A</i>. Пусть<i>A</i>₂,<i>B</i>₂и<i>C</i>₂— соответственные точки этих треугольников. Докажите, что$\triangle$<i>A</i>₂<i>B</i>₂<i>C</i>₂$\sim$$\triangle$<i>A</i>₁<i>BC</i>. б) Докажите, что центры правильных треугольников, построенных внешним (внутренним) образом на сторонах тре...

На сторонах<i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>треугольника<i>ABC</i>взяты точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁так, что$\triangle$<i>ABC</i>$\sim$$\triangle$<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁. Пары отрезков<i>BB</i>₁и <i>CC</i>₁,<i>CC</i>₁и <i>AA</i>₁,<i>AA</i>₁и <i>BB</i>₁пересекаются в точках <i>A</i><sub>2</...

Параллелограмм<i>ABCD</i>отличен от ромба. Прямые, симметричные прямым<i>AB</i>и <i>CD</i>относительно диагоналей<i>AC</i>и <i>DB</i>соответственно, пересекаются в точке <i>Q</i>. Докажите, что <i>Q</i> — центр поворотной гомотетии, переводящей отрезок<i>AO</i>в отрезок<i>OD</i>, где <i>O</i> — центр параллелограмма.

Четыре пересекающиеся прямые образуют четыре треугольника. Докажите, что четыре окружности, описанные около этих треугольников, имеют одну общую точку.

Докажите, что центр поворотной гомотетии, переводящей отрезок<i>AB</i>в отрезок<i>A</i>₁<i>B</i>₁, совпадает с центром поворотной гомотетии, переводящей отрезок<i>AA</i>₁в отрезок<i>BB</i>₁.

По двум пересекающимся прямым с постоянными, но не равными скоростями движутся точки <i>A</i> и <i>B</i>.

Докажите, что существует такая точка <i>P</i>, что в любой момент времени  <i>AP</i> : <i>BP = k</i>,  где <i>k</i> – отношение скоростей.

Постройте четырехугольник<i>ABCD</i>по$\angle$<i>B</i>+$\angle$<i>D</i>,<i>a</i>=<i>AB</i>,<i>b</i>=<i>BC</i>,<i>c</i>=<i>CD</i>и <i>d</i>=<i>DA</i>.

На стороне<i>AB</i>треугольника<i>ABC</i>дана точка <i>P</i>. Впишите в треугольник<i>ABC</i>треугольник<i>PXY</i>, подобный данному треугольнику<i>LMN</i>.

Дана полуокружность с диаметром<i>AB</i>. Для каждой точки <i>X</i>этой полуокружности на луче<i>XA</i>откладывается точка <i>Y</i>так, что<i>XY</i>=<i>kXB</i>. Найдите ГМТ <i>Y</i>.

Треугольники<i>MAB</i>и <i>MCD</i>подобны, но имеют противоположные ориентации. Пусть <i>O</i>₁ — центр поворота на угол2$\angle$($\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{BM}$), переводящего <i>A</i>в <i>C</i>, а <i>O</i>₂ — центр поворота на угол2$\angle$($\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{AM}$), переводящего <i>B</i>в <i>D</i>. Докажите, что<i>O</i>₁=<i>O</i>₂.

Поворотные гомотетии <i>P</i>₁и <i>P</i>₂с центрами <i>A</i>₁и <i>A</i>₂имеют один и тот же угол поворота, а произведение их коэффициентов равно 1. Докажите, что композиция<i>P</i>₂<tt>o</tt><i>P</i>₁является поворотом, причем его центр совпадает с центром другого поворота, переводящего <i>A</i>₁в <i>A</i>₂и имеющего угол поворота2$\angle$($\overrightarrow{MA_1}$,$\overrightarrow{MN}$), где <i>M</i> — произвольная точка и <i>N</i>=<i>P</i>₁(<...

На прямоугольную карту положили карту той же местности, но меньшего масштаба. Докажите, что можно проткнуть иголкой сразу обе карты так, чтобы точка прокола изображала на обеих картах одну и ту же точку местности.

Треугольник<i>ABC</i>при поворотной гомотетии переходит в треугольник<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁;<i>O</i> — произвольная точка. Пусть <i>A</i>₂ — вершина параллелограмма<i>OAA</i>₁<i>A</i>₂; точки <i>B</i>₂и <i>C</i>₂определяются аналогично. Докажите, что$\triangle$<i>A</i>₂<i>B</i>₂<i>C</i>₂$\sim$$\triangle$<i>ABC</i>.

Середины сторон<i>BC</i>и <i>B</i>₁<i>C</i>₁правильных треугольников<i>ABC</i>и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁совпадают (вершины обоих треугольников перечислены по часовой стрелке). Найдите величину угла между прямыми<i>AA</i>₁и <i>BB</i>₁, а также отношение длин отрезков<i>AA</i>₁и <i>BB</i>₁.