Задача
а) На сторонах треугольникаABCпостроены собственно подобные треугольникиA1BC,CAB1иBC1A. ПустьA2,B2иC2— соответственные точки этих треугольников. Докажите, что$\triangle$A2B2C2$\sim$$\triangle$A1BC. б) Докажите, что центры правильных треугольников, построенных внешним (внутренним) образом на сторонах треугольникаABC, образуют правильный треугольник.
Решение
а) ПустьH1— поворотная гомотетия, переводящая треугольникA1BCв треугольникCAB1,H2— поворотная гомотетия, переводящая треугольникCAB1в треугольникBC1A,H— поворотная гомотетия, переводящая точкиA1иCв точкиA2иC2. ТогдаH1oH(A1) =H1(A) =C2=H(C) =HoH1(A). Поэтому согласно задаче 19.49B1H1oH2=H2oH1, а значит, согласно задаче 19.49Bповоротные гомотетииHиH1имеют общий центр. Ясно также, чтоH1oH2(C) =H1(B) =A=H2(B) =H2oH1(C). Поэтому поворотные гомотетииH1иH2имеют общий центр. Итак, все три поворотные гомотетииH1,H2иHимеют общий центр. ПоэтомуH2oH=HoH2. Следовательно,H(B) =HoH2(C) =H2oH(C) =H2(C2) =B. Таким образом, поворотная гомотетияHпереводит треугольникA1BCв треугольникA2B2C2. б) Эта задача является частным случаем задачи а).
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь