Олимпиадные задачи из источника «глава 19. Гомотетия и поворотная гомотетия» - сложность 4-5 с решениями

Выпуклый многоугольник обладает следующим свойством: если все прямые, на которых лежат его стороны, параллельно перенести на расстояние 1 во внешнюю сторону, то полученные прямые образуют многоугольник, подобный исходному, причём параллельные стороны окажутся пропорциональными. Доказать, что в данный многоугольник можно вписать окружность.

а) Докажите, что прямые, проходящие через вершины треугольника<i>ABC</i>параллельно сторонам треугольника Брокара<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁(через<i>A</i>проходит прямая, параллельная<i>B</i>₁<i>C</i>₁, и т. п.), пересекаются в одной точке<i>S</i>(<i>точка Штейнера</i>), причем эта точка лежит на описанной окружности треугольника<i>ABC</i>. б) Докажите, что прямая Симсона точки Штейнера параллельна диаметру Брокара.

Докажите, что вершинами треугольника Брокара<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁являются точки пересечения окружности Брокара с прямыми, проходящими через точку Лемуана параллельно сторонам треугольника<i>ABC</i>.

Пусть <i>O</i> — центр описанной окружности треугольника<i>ABC</i>,<i>K</i> — точка Лемуана,<i>P</i>и <i>Q</i> — точки Брокара,$\varphi$ — угол Брокара. Докажите, что точки <i>P</i>и <i>Q</i>лежат на окружности с диаметром<i>KO</i>, причем<i>OP</i>=<i>OQ</i>и $\angle$<i>POQ</i>= 2$\varphi$.

Докажите, что окружностью подобия треугольника<i>ABC</i>является окружность с диаметром<i>KO</i>, где <i>K</i> — точка Лемуана,<i>O</i> — центр описанной окружности.

Докажите, что постоянные точки трех подобных фигур являются их соответственными точками.

Докажите, что постоянный треугольник трех подобных фигур подобен треугольнику, образованному их соответственными прямыми, причем эти треугольники противоположно ориентированы.

Пусть <i>l</i>₁,<i>l</i>₂и <i>l</i>₃ — соответственные прямые подобных фигур <i>F</i>₁,<i>F</i>₂и <i>F</i>₃, пересекающиеся в точке <i>W</i>. а) Докажите, что точка <i>W</i>лежит на окружности подобия фигур <i>F</i>₁,<i>F</i>₂и <i>F</i>₃. б) Пусть <i>J</i>₁,<i>J</i>₂и <i>J</i>₃ — точки пересечения прямых <i>l</i>₁,<i...

Пусть<i>A</i>₁<i>B</i>₁,<i>A</i>₂<i>B</i>₂и <i>A</i>₃<i>B</i>₃, а также<i>A</i>₁<i>C</i>₁,<i>A</i>₂<i>C</i>₂и <i>A</i>₃<i>C</i>₃ — соответственные отрезки подобных фигур <i>F</i>₁,<i>F</i>₂и <i>F</i>₃. Докажите, что треугольник, образованный прямыми<i>A</i><su...

Прямые<i>A</i>₂<i>B</i>₂и <i>A</i>₃<i>B</i>₃,<i>A</i>₃<i>B</i>₃и <i>A</i>₁<i>B</i>₁,<i>A</i>₁<i>B</i>₁и <i>A</i>₂<i>B</i>₂пересекаются в точках <i>P</i>₁,<i>P</i>₂,<i>P</i>₃соответственно. а) Докажите, что описанные окружности треугольников<i>A</i><sub>1&lt...

На сторонах<i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>треугольника<i>ABC</i>взяты точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁так, что$\triangle$<i>ABC</i>$\sim$$\triangle$<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁. Пары отрезков<i>BB</i>₁и <i>CC</i>₁,<i>CC</i>₁и <i>AA</i>₁,<i>AA</i>₁и <i>BB</i>₁пересекаются в точках <i>A</i><sub>2</...

Параллелограмм<i>ABCD</i>отличен от ромба. Прямые, симметричные прямым<i>AB</i>и <i>CD</i>относительно диагоналей<i>AC</i>и <i>DB</i>соответственно, пересекаются в точке <i>Q</i>. Докажите, что <i>Q</i> — центр поворотной гомотетии, переводящей отрезок<i>AO</i>в отрезок<i>OD</i>, где <i>O</i> — центр параллелограмма.

Четыре пересекающиеся прямые образуют четыре треугольника. Докажите, что четыре окружности, описанные около этих треугольников, имеют одну общую точку.

Постройте четырехугольник<i>ABCD</i>по$\angle$<i>B</i>+$\angle$<i>D</i>,<i>a</i>=<i>AB</i>,<i>b</i>=<i>BC</i>,<i>c</i>=<i>CD</i>и <i>d</i>=<i>DA</i>.

На стороне<i>AB</i>треугольника<i>ABC</i>дана точка <i>P</i>. Впишите в треугольник<i>ABC</i>треугольник<i>PXY</i>, подобный данному треугольнику<i>LMN</i>.

Дана полуокружность с диаметром<i>AB</i>. Для каждой точки <i>X</i>этой полуокружности на луче<i>XA</i>откладывается точка <i>Y</i>так, что<i>XY</i>=<i>kXB</i>. Найдите ГМТ <i>Y</i>.

Прямоугольный треугольник<i>ABC</i>изменяется таким образом, что вершина <i>A</i>прямого угла треугольника не изменяет своего положения, а вершины <i>B</i>и <i>C</i>скользят по фиксированным окружностям <i>S</i>₁и <i>S</i>₂, касающимся внешним образом в точке <i>A</i>. Найдите геометрическое место оснований <i>D</i>высот<i>AD</i>треугольников<i>ABC</i>.

В каждый угол треугольника<i>ABC</i>вписана окружность, касающаяся описанной окружности. Пусть<i>A</i>₁,<i>B</i>₁и<i>C</i>₁ — точки касания этих окружностей с описанной окружностью. Докажите, что прямые<i>AA</i>₁,<i>BB</i>₁и<i>CC</i>₁пересекаются в одной точке.

Дан треугольник<i>ABC</i>. Построены четыре окружности равного радиуса $\rho$так, что одна из них касается трех других, а каждая из этих трех касается двух сторон треугольника. Найдите $\rho$, если радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника равны <i>r</i>и <i>R</i>соответственно.

Окружности $\alpha$,$\beta$и $\gamma$имеют одинаковые радиусы и касаются сторон углов <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i>треугольника<i>ABC</i>соответственно. Окружность $\delta$касается внешним образом всех трех окружностей $\alpha$,$\beta$и $\gamma$. Докажите, что центр окружности $\delta$лежит на прямой, проходящей через центры вписанной и описанной окружностей треугольника<i>ABC</i>.

Докажите, что любой выпуклый многоугольник $\Phi$содержит два непересекающихся многоугольника $\Phi_{1}^{}$и $\Phi_{2}^{}$, подобных $\Phi$с коэффициентом 1/2.