Олимпиадные задачи из источника «параграф 8. Окружность подобия трех фигур»

а) Докажите, что прямые, проходящие через вершины треугольника<i>ABC</i>параллельно сторонам треугольника Брокара<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁(через<i>A</i>проходит прямая, параллельная<i>B</i>₁<i>C</i>₁, и т. п.), пересекаются в одной точке<i>S</i>(<i>точка Штейнера</i>), причем эта точка лежит на описанной окружности треугольника<i>ABC</i>. б) Докажите, что прямая Симсона точки Штейнера параллельна диаметру Брокара.

Докажите, что вершинами треугольника Брокара<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁являются точки пересечения окружности Брокара с прямыми, проходящими через точку Лемуана параллельно сторонам треугольника<i>ABC</i>.

Пусть <i>O</i> — центр описанной окружности треугольника<i>ABC</i>,<i>K</i> — точка Лемуана,<i>P</i>и <i>Q</i> — точки Брокара,$\varphi$ — угол Брокара. Докажите, что точки <i>P</i>и <i>Q</i>лежат на окружности с диаметром<i>KO</i>, причем<i>OP</i>=<i>OQ</i>и $\angle$<i>POQ</i>= 2$\varphi$.

Докажите, что окружностью подобия треугольника<i>ABC</i>является окружность с диаметром<i>KO</i>, где <i>K</i> — точка Лемуана,<i>O</i> — центр описанной окружности.

Докажите, что постоянные точки трех подобных фигур являются их соответственными точками.

Докажите, что постоянный треугольник трех подобных фигур подобен треугольнику, образованному их соответственными прямыми, причем эти треугольники противоположно ориентированы.

Пусть <i>l</i>₁,<i>l</i>₂и <i>l</i>₃ — соответственные прямые подобных фигур <i>F</i>₁,<i>F</i>₂и <i>F</i>₃, пересекающиеся в точке <i>W</i>. а) Докажите, что точка <i>W</i>лежит на окружности подобия фигур <i>F</i>₁,<i>F</i>₂и <i>F</i>₃. б) Пусть <i>J</i>₁,<i>J</i>₂и <i>J</i>₃ — точки пересечения прямых <i>l</i>₁,<i...

Пусть<i>A</i>₁<i>B</i>₁,<i>A</i>₂<i>B</i>₂и <i>A</i>₃<i>B</i>₃, а также<i>A</i>₁<i>C</i>₁,<i>A</i>₂<i>C</i>₂и <i>A</i>₃<i>C</i>₃ — соответственные отрезки подобных фигур <i>F</i>₁,<i>F</i>₂и <i>F</i>₃. Докажите, что треугольник, образованный прямыми<i>A</i><su...

Прямые<i>A</i>₂<i>B</i>₂и <i>A</i>₃<i>B</i>₃,<i>A</i>₃<i>B</i>₃и <i>A</i>₁<i>B</i>₁,<i>A</i>₁<i>B</i>₁и <i>A</i>₂<i>B</i>₂пересекаются в точках <i>P</i>₁,<i>P</i>₂,<i>P</i>₃соответственно. а) Докажите, что описанные окружности треугольников<i>A</i><sub>1&lt...