Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Гомотетичные многоугольники»
параграф 1. Гомотетичные многоугольники
НазадВыпуклый многоугольник обладает следующим свойством: если все прямые, на которых лежат его стороны, параллельно перенести на расстояние 1 во внешнюю сторону, то полученные прямые образуют многоугольник, подобный исходному, причём параллельные стороны окажутся пропорциональными. Доказать, что в данный многоугольник можно вписать окружность.
Докажите, что любой выпуклый многоугольник $\Phi$содержит два непересекающихся многоугольника $\Phi_{1}^{}$и $\Phi_{2}^{}$, подобных $\Phi$с коэффициентом 1/2.
Пусть <i>M</i> — центр масс<i>n</i>-угольника<i>A</i><sub>1</sub>...<i>A</i><sub>n</sub>;<i>M</i><sub>1</sub>,...,<i>M</i><sub>n</sub> — центры масс (<i>n</i>- 1)-угольников, полученных из этого<i>n</i>-угольника выбрасыванием вершин<i>A</i><sub>1</sub>,...,<i>A</i><sub>n</sub>соответственно. Докажите, что многоугольники<i>A</i><sub>1</sub>...<i>A</i><sub>n</sub>и <i>M</i><sub>1</sub>...<i>M</i><sub>n</sub>гомотетичны.
Пусть <i>R</i>и <i>r</i> — радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника. Докажите, что<i>R</i>$\ge$2<i>r</i>, причем равенство достигается лишь для равностороннего треугольника.
Окружность <i>S</i>касается равных сторон<i>AB</i>и <i>BC</i>равнобедренного треугольника<i>ABC</i>в точках <i>P</i>и <i>K</i>, а также касается внутренним образом описанной окружности треугольника<i>ABC</i>. Докажите, что середина отрезка<i>PK</i>является центром вписанной окружности треугольника<i>ABC</i>.
Медианы<i>AA</i><sub>1</sub>,<i>BB</i><sub>1</sub>и <i>CC</i><sub>1</sub>треугольника<i>ABC</i>пересекаются в точке <i>M</i>;<i>P</i> — произвольная точка. Прямая <i>l</i><sub>a</sub>проходит через точку <i>A</i>параллельно прямой<i>PA</i><sub>1</sub>; прямые <i>l</i><sub>b</sub>и <i>l</i><sub>c</sub>определяются аналогично. Докажите, что: а) прямые <i>l</i><sub>a</sub>,<i>l</i><sub>b</sub>и <i>l</i><sub>c</sub>пересекаются в одной точке <i>Q</i>; б) точка <i>M</i>лежит на отрезке<...
В трапеции точка пересечения диагоналей равноудалена от прямых, на которых лежат боковые стороны. Докажите, что трапеция равнобедренная.
Четырёхугольник разрезан диагоналями на четыре треугольника. Докажите, что точки пересечения медиан этих треугольников образуют параллелограмм.
Докажите, что точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции, середины оснований и точка пересечения диагоналей лежат на одной прямой.