Олимпиадные задачи из источника «параграф 4. Композиции гомотетий»

Трапеции<i>ABCD</i>и <i>APQD</i>имеют общее основание<i>AD</i>, причем длины всех их оснований попарно различны. Докажите, что на одной прямой лежат точки пересечения следующих пар прямых: а)<i>AB</i>и <i>CD</i>,<i>AP</i>и <i>DQ</i>,<i>BP</i>и <i>CQ</i>; б)<i>AB</i>и <i>CD</i>,<i>AQ</i>и <i>DP</i>,<i>BQ</i>и <i>CP</i>.

Общие внешние касательные к парам окружностей <i>S</i>₁и <i>S</i>₂,<i>S</i>₂и <i>S</i>₃,<i>S</i>₃и <i>S</i>₁пересекаются в точках <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i>соответственно. Докажите, что точки <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i>лежат на одной прямой.

Докажите, что композиция двух гомотетий с коэффициентами <i>k</i>₁и <i>k</i>₂, где<i>k</i>₁<i>k</i>₂$\ne$1, является гомотетией с коэффициентом<i>k</i>₁<i>k</i>₂, причем ее центр лежит на прямой, соединяющей центры этих гомотетий. Исследуйте случай<i>k</i>₁<i>k</i>₂= 1.

Преобразование <i>f</i>обладает следующим свойством: если <i>A'</i>и <i>B'</i> — образы точек <i>A</i>и <i>B</i>, то<img width="38" height="19" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/58001/problem_58001_img_2.gif" alt="$ \overrightarrow{A'B'}$">=<i>k</i>$\overrightarrow{AB}$, где <i>k</i> — постоянное число. Докажите, что: а) если<i>k</i>= 1, то преобразование <i>f</i>является параллельным переносом; б) если<i>k</i>$\ne$1, то преобразование <i>f</i>является гомотетией.