Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Построения и геометрические места точек»

Прямоугольный треугольник<i>ABC</i>изменяется таким образом, что вершина <i>A</i>прямого угла треугольника не изменяет своего положения, а вершины <i>B</i>и <i>C</i>скользят по фиксированным окружностям <i>S</i>₁и <i>S</i>₂, касающимся внешним образом в точке <i>A</i>. Найдите геометрическое место оснований <i>D</i>высот<i>AD</i>треугольников<i>ABC</i>.

Постройте на стороне<i>BC</i>данного треугольника<i>ABC</i>такую точку, что прямая, соединяющая основания перпендикуляров, опущенных из этой точки на стороны<i>AB</i>и <i>AC</i>, параллельна <i>BC</i>.

Решите задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/157855">16.18</a>с помощью гомотетии.

Постройте треугольник<i>ABC</i>по сторонам<i>AB</i>и <i>AC</i>и биссектрисе <i>AD</i>.

Дан остроугольный треугольник<i>ABC</i>. Постройте точки <i>X</i>и <i>Y</i>на сторонах<i>AB</i>и <i>BC</i>так, что a) <i>AX</i>=<i>XY</i>=<i>YC</i>; б) <i>BX</i>=<i>XY</i>=<i>YC</i>.

Впишите в треугольник две равные окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника и другой окружности.

Даны угол<i>ABC</i>и точка <i>M</i>внутри его. Постройте окружность, касающуюся сторон угла и проходящую через точку <i>M</i>.