Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Гомотетичные окружности»

В каждый угол треугольника<i>ABC</i>вписана окружность, касающаяся описанной окружности. Пусть<i>A</i>₁,<i>B</i>₁и<i>C</i>₁ — точки касания этих окружностей с описанной окружностью. Докажите, что прямые<i>AA</i>₁,<i>BB</i>₁и<i>CC</i>₁пересекаются в одной точке.

Дан треугольник<i>ABC</i>. Построены четыре окружности равного радиуса $\rho$так, что одна из них касается трех других, а каждая из этих трех касается двух сторон треугольника. Найдите $\rho$, если радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника равны <i>r</i>и <i>R</i>соответственно.

Окружности $\alpha$,$\beta$и $\gamma$имеют одинаковые радиусы и касаются сторон углов <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i>треугольника<i>ABC</i>соответственно. Окружность $\delta$касается внешним образом всех трех окружностей $\alpha$,$\beta$и $\gamma$. Докажите, что центр окружности $\delta$лежит на прямой, проходящей через центры вписанной и описанной окружностей треугольника<i>ABC</i>.

Пусть <i>O</i> — центр вписанной окружности треугольника<i>ABC</i>,<i>D</i> — точка касания ее со стороной<i>AC</i>,<i>B</i>₁ — середина стороны<i>AC</i>. Докажите, что прямая<i>B</i>₁<i>O</i>делит отрезок<i>BD</i>пополам.

а) Вписанная окружность треугольника<i>ABC</i>касается стороны<i>AC</i>в точке <i>D</i>,<i>DM</i> — ее диаметр. Прямая<i>BM</i>пересекает сторону<i>AC</i>в точке <i>K</i>. Докажите, что<i>AK</i>=<i>DC</i>. б) В окружности проведены перпендикулярные диаметры<i>AB</i>и <i>CD</i>. Из точки <i>M</i>, лежащей вне окружности, проведены касательные к окружности, пересекающие прямую<i>AB</i>в точках <i>E</i>и <i>H</i>, а также прямые<i>MC</i>и <i>MD</i>, пересекающие прямую<i>AB</i>в точках <i>F</i>и <i>K</i>. Докажите, что<i>EF</i>=<i>KH</i...

На окружности фиксированы точки <i>A</i> и <i>B</i>, а точка <i>C</i> движется по этой окружности. Найдите геометрическое место точек пересечения медиан треугольников <i>ABC</i>.