Задача
Пусть O — центр описанной окружности треугольникаABC,K — точка Лемуана,Pи Q — точки Брокара,$\varphi$ — угол Брокара. Докажите, что точки Pи Qлежат на окружности с диаметромKO, причемOP=OQи $\angle$POQ= 2$\varphi$.
Решение
Если P — первая точка Брокара треугольникаABC, тоCP,APи BP — соответственные прямые для подобных фигур, построенных на отрезкахBC,CAи AB. Поэтому точка Pлежит на окружности подобия S(см. задачу 19.51, а)). Аналогично точка Qлежит на окружности S. Кроме того, прямыеCP,APи BPпересекают окружность Sв постоянных точках A1,B1и C1треугольникаABC(см. задачу 19.51, б)). А так какKA1|BC(см. решение задачи 19.54), то$\angle$(PA1,A1K) =$\angle$(PC,CB) =$\varphi$, т. е.$\smile$PK= 2$\varphi$. Аналогично$\smile$KQ= 2$\varphi$. ПоэтомуPQ$\perp$KO, а значит,OP=OQи $\angle$(POQ) = ($\smile$PQ)/2 = 2$\varphi$.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь