Задачи и олимпиады по математике

Задача

Внутри выпуклогоn-угольникаA₁A₂...A_nвзята точка Oтак, что$\overrightarrow{OA_1}$+...+$\overrightarrow{OA_n}$=$\overrightarrow{0}$. Пустьd=OA₁+...+OA_n. Докажите, что периметр многоугольника не меньше 4d/nпри nчетном и не меньше4dn/(n²- 1) при nнечетном.

Решение

Согласно задаче 13.39неравенство достаточно доказать для проекций векторов на любую прямую. Пусть проекции векторов$\overrightarrow{OA_1}$,...,$\overrightarrow{OA_n}$на прямую lравны (с учетом знака)a₁,...,a_n. Разобьем числаa₁,...,a_nна две группы:x₁$\ge$x₂$\ge$...$\ge$x_k$\ge$0 и y₁'$\le$y₂'$\le$...$\le$y_{n - k}'$\le$0. Пустьy_i= -y_i'. Тогдаx₁+...+x_k=y₁+...+y_{n - k}=a, а значит,x₁$\ge$a/kи y₁$\ge$a/(n-k). Периметру в проекции соответствует число2(x₁+y₁). Сумме длин векторов$\overrightarrow{OA_i}$в проекции соответствует числоx₁+...+x_k+y₁+...+y_{n - k}= 2a. А так как

$\displaystyle {\frac{2(x_1+y_1)}{x_1+\ldots+y_{n-k}}}$$\displaystyle \ge$$\displaystyle {\frac{2((a/k)+(a/(n-k)))}{2a}}$ = $\displaystyle {\frac{n}{k(n-k)}}$,

то остается заметить, что величинаk(n-k) максимальна приk=n/2 для четного nи приk= (n±1)/2 для нечетного n.

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Задача

Решение

Ответ

Подтверждение удаления