Задача
Точка Xлежит внутри треугольникаABC,$\alpha$=SBXC,$\beta$=SCXAи $\gamma$=SAXB. Пусть A1,B1и C1 — проекции точек A,Bи Cна произвольную прямую l. Докажите, что длина вектора$\alpha$$\overrightarrow{AA_1}$+$\beta$$\overrightarrow{BB_1}$+$\gamma$$\overrightarrow{CC_1}$равна($\alpha$+$\beta$+$\gamma$)d, где d — расстояние от точки Xдо прямой l.
Решение
Пусть X1 — проекция точки Xна прямую l. Вектор$\alpha$$\overrightarrow{AA_1}$+$\beta$$\overrightarrow{BB_1}$+$\gamma$$\overrightarrow{CC_1}$является проекцией вектора$\alpha$$\overrightarrow{AX_1}$+$\beta$$\overrightarrow{BX_1}$+$\gamma$$\overrightarrow{CX_1}$на прямую, перпендикулярную прямой l. Учитывая, что$\alpha$$\overrightarrow{AX_1}$+$\beta$$\overrightarrow{BX_1}$+$\gamma$$\overrightarrow{CX_1}$=$\alpha$$\overrightarrow{AX}$+$\beta$$\overrightarrow{BX}$+$\gamma$$\overrightarrow{CX}$+ ($\alpha$+$\beta$+$\gamma$)$\overrightarrow{XX_1}$и $\alpha$$\overrightarrow{AX}$+$\beta$$\overrightarrow{BX}$+$\gamma$$\overrightarrow{CX}$=$\overrightarrow{0}$(задача 13.29), получаем требуемое.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь