Задачи и олимпиады по математике

Задача

Точки P₁,P₂и P₃, не лежащие на одной прямой, расположены внутри выпуклого 2n-угольникаA₁...A_2n. Докажите, что если сумма площадей треугольниковA₁A₂P_i,A₃A₄P_i,...,A_{2n - 1}A_2nP_iравна одному и тому же числу cдляi= 1, 2, 3, то для любой внутренней точки Pсумма площадей этих треугольников равна c.

Решение

Пустьa_j=$\overrightarrow{P_1A_j}$. Тогда удвоенная сумма площадей указанных треугольников для любой внутренней точки Pравна

(x + a₁) $\displaystyle \vee$ (x + a₂) + (x + a₃) $\displaystyle \vee$ (x + a₄) +...+ (x + a_{2n - 1}) $\displaystyle \vee$ (x + a_2n),

гдеx=$\overrightarrow{PP_1}$; от удвоенной суммы площадей этих треугольников для точки P₁она отличается наx$\vee$(a₁-a₂+a₃-a₄+...+a_{2n - 1}-a_2n) =x$\vee$a. По условиюx$\vee$a= 0 приx=$\overrightarrow{P_2P_1}$и x=$\overrightarrow{P_3P_1}$, причем эти векторы не параллельны. Следовательно,a= 0, т. е.x$\vee$a= 0 для любого вектора x.

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Задача

Решение

Ответ

Подтверждение удаления