Назад
Задача 157739 • Сложность: 5 • 8-9 класс
Задача

В выпуклом пятиугольникеABCDE, площадь которого равна S, площади треугольниковABC,BCD,CDE,DEAи EABравны a,b,c,dи e. Докажите, что

S2 - S(a + b + c + d + e) + ab + bc + cd + de + ea = 0.

Разделы:
Планиметрия
Источники:
Прасолов В.В., Задачи по планиметрии глава 13. Векторы параграф 7. Псевдоскалярное произведение Книги, журналы
Количество версий:
2
Решение

Пустьx=x1e1+x2e2. Тогдаe1$\vee$x=x2(e1$\vee$e2) и x$\vee$e2=x1(e1$\vee$e2), т. е.

x = ((x $\displaystyle \vee$ e2)e1 + (e1 $\displaystyle \vee$ x)e2)/(e1 $\displaystyle \vee$ e2).

Домножив это выражение справа на(e1$\vee$e2)y, получим
(x $\displaystyle \vee$ e2)(e1 $\displaystyle \vee$ y) + (e1 $\displaystyle \vee$ x)(e2 $\displaystyle \vee$ y) + (e2 $\displaystyle \vee$ e1)(x $\displaystyle \vee$ y) = 0.1)
Пустьe1=$\overrightarrow{AB}$,e2=$\overrightarrow{AC}$,x=$\overrightarrow{AD}$и y=$\overrightarrow{AE}$. ТогдаS=a+x$\vee$e2+d=c+y$\vee$e2+a=d+x$\vee$e1+b, т. е.x$\vee$e2=S-a-d,y$\vee$e2=S-c-aи x$\vee$e1=S-d-b. Подставив эти выражения в (1), получим требуемое.
Ответ

Ответ задачи отсутствует

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет