Олимпиадные задачи из источника «параграф 4. Суммы векторов»
параграф 4. Суммы векторов
НазадЧетырехугольник<i>ABCD</i>вписан в окружность радиуса <i>R</i>. а) Пусть <i>S</i><sub>a</sub> — окружность радиуса <i>R</i>с центром в ортоцентре треугольника<i>BCD</i>; окружности <i>S</i><sub>b</sub>,<i>S</i><sub>c</sub>и <i>S</i><sub>d</sub>определяются аналогично. Докажите, что эти четыре окружности пересекаются в одной точке. б) Докажите, что окружности девяти точек треугольников<i>ABC</i>,<i>BCD</i>,<i>CDA</i>и <i>DAB</i>пересекаются в одной точке.
Четырехугольник<i>ABCD</i>вписанный. Пусть <i>H</i><sub>a</sub> — ортоцентр треугольника<i>BCD</i>,<i>M</i><sub>a</sub> — середина отрезка<i>AH</i><sub>a</sub>; точки <i>M</i><sub>b</sub>,<i>M</i><sub>c</sub>и <i>M</i><sub>d</sub>определяются аналогично. Докажите, что точки <i>M</i><sub>a</sub>,<i>M</i><sub>b</sub>,<i>M</i><sub>c</sub>и <i>M</i><sub>d</sub>совпадают.
На сторонах<i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>треугольника<i>ABC</i>взяты точки <i>A</i><sub>1</sub>,<i>B</i><sub>1</sub>и <i>C</i><sub>1</sub>. Отрезки<i>BB</i><sub>1</sub>и <i>CC</i><sub>1</sub>,<i>CC</i><sub>1</sub>и<i>AA</i><sub>1</sub>,<i>AA</i><sub>1</sub>и <i>BB</i><sub>1</sub>пересекаются в точках <i>A</i><sub>2</sub>,<i>B</i><sub>2</sub>и <i>C</i><sub>2</sub>соответственно. Докажите, что если$\overrightarrow{AA_2}$+$\overrightarrow{BB_2}$+$\overrightarrow{...
Через точку <i>M</i>пересечения медиан треугольника<i>ABC</i>проведена прямая, пересекающая прямые<i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>в точках <i>A</i><sub>1</sub>,<i>B</i><sub>1</sub>и <i>C</i><sub>1</sub>. Докажите, что(1/$\overline{MA_1}$) + (1/$\overline{MB_1}$) + (1/$\overline{MC_1}$) = 0 (отрезки<i>MA</i><sub>1</sub>,<i>MB</i><sub>1</sub>и <i>MC</i><sub>1</sub>считаются ориентированными).
Точки <i>A</i>и <i>B</i>движутся по двум фиксированным лучам с общим началом <i>O</i>так, что величина${\frac{p}{OA}}$+${\frac{q}{OB}}$остается постоянной. Докажите, что прямая<i>AB</i>при этом проходит через фиксированную точку.
Внутри треугольника<i>ABC</i>взята точка <i>O</i>. Докажите, что<div align="CENTER"> <i>S</i><sub>BOC</sub><sup> . </sup>$\displaystyle \overrightarrow{OA}$ + <i>S</i><sub>AOC</sub><sup> . </sup>$\displaystyle \overrightarrow{OB}$ + <i>S</i><sub>AOB</sub><sup> . </sup>$\displaystyle \overrightarrow{OC}$ = $\displaystyle \overrightarrow{0}$. </div>
Дано несколько точек и для некоторых пар (<i>A</i>,<i>B</i>) этих точек взяты векторы$\overrightarrow{AB}$, причем в каждой точке начинается столько же векторов, сколько в ней заканчивается. Докажите, что сумма всех выбранных векторов равна $\overrightarrow{0}$.
Докажите, что точка <i>X</i>лежит на прямой<i>AB</i>тогда и только тогда, когда$\overrightarrow{OX}$=<i>t</i>$\overrightarrow{OA}$+ (1 -<i>t</i>)$\overrightarrow{OB}$для некоторого <i>t</i>и любой точки <i>O</i>.