Задача
ЧетырехугольникABCDвписан в окружность радиуса R. а) Пусть Sa — окружность радиуса Rс центром в ортоцентре треугольникаBCD; окружности Sb,Scи Sdопределяются аналогично. Докажите, что эти четыре окружности пересекаются в одной точке. б) Докажите, что окружности девяти точек треугольниковABC,BCD,CDAи DABпересекаются в одной точке.
Решение
Пусть O — центр описанной окружности данного четырехугольника,a=$\overrightarrow{OA}$,b=$\overrightarrow{OB}$,c=$\overrightarrow{OC}$и d=$\overrightarrow{OD}$. Если Hd — ортоцентр треугольникаABC, то$\overrightarrow{OH_d}$=a+b+c(задача 13.13). а) Возьмем точку Kтак, что$\overrightarrow{OK}$=a+b+c+d. ТогдаKHd= |$\overrightarrow{OK}$-$\overrightarrow{OH_d}$| = |d| =R, т. е. точка Kлежит на окружности Sd. Аналогично доказывается, что точка Kлежит на окружностях Sa,Sbи Sc. б) Пусть Od — центр окружности девяти точек треугольникаABC, т. е. середина отрезкаOHd. Тогда$\overrightarrow{OO_d}$=$\overrightarrow{OH_d}$/2 = (a+b+c)/2. Возьмем точку Xтак, что$\overrightarrow{OX}$= (a+b+c+d)/2. ТогдаXOd= |d|/2 =R/2, т. е. точка Xлежит на окружности девяти точек треугольникаABC. Аналогично доказывается, что точка Xлежит на окружностях девяти точек треугольниковBCD,CDAи DAB.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь