Задачи и олимпиады по математике

Задача

Пусть a,bи c — длины сторон треугольникаABC,n_a,n_bи n_c — векторы единичной длины, перпендикулярные соответствующим сторонам и направленные во внешнюю сторону. Докажите, что

a³n_a + b³n_b + c³n_c = 12S^.$\displaystyle \overrightarrow{MO}$,

где S — площадь,M — точка пересечения медиан,O — центр описанной окружности треугольникаABC.

Решение

Для доказательства равенства векторов достаточно проверить равенство их проекций (с учетом знака) на прямыеBC,CAи AB. Доказательство проведем, например, для проекций на прямуюBC; положительным при этом будем считать направление лучаBC. Пусть P — проекция точки Aна прямуюBC,N — середина отрезкаBC. Тогда$\overrightarrow{PN}$=$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{CN}$= (b²+a²-c²)/2a- (a/2) = (b²-c²)/2a(PCнаходится из уравненияAB²-BP²=AC²-CP²). Так какNM:NA= 1 : 3, то проекция вектора$\overrightarrow{MO}$на прямуюBCравна$\overrightarrow{PN}$/3 = (b²-c²)/6a. Остается заметить, что проекция вектораa³n_a+b³n_b+c³n_cна прямуюBCравна

b³sin$\displaystyle \gamma$ - c³sin$\displaystyle \beta$ = $\displaystyle {\frac{b^3 c-c^3 b}{2R}}$ = $\displaystyle {\frac{abc}{2R}}$^.$\displaystyle {\frac{b^2-c^2}{a}}$ = 2S $\displaystyle {\frac{b^2-c^2}{a}}$.

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Задача

Решение

Ответ

Подтверждение удаления