Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Неравенства»

Из точки <i>O</i>выходит <i>n</i>векторов единичной длины, причем в любой полуплоскости, ограниченной прямой, проходящей через точку <i>O</i>, содержится не менее <i>k</i>векторов (предполагается, что граничная прямая входит в полуплоскость). Докажите, что длина суммы этих векторов не превосходит<i>n</i>- 2<i>k</i>.

Пусть<b>a</b>₁,<b>a</b>₂,...,<b>a</b>_n — векторы, длины которых не превосходят 1. Докажите, что в сумме<b>c</b>= ±<b>a</b>₁±<b>a</b>₂...±<b>a</b>_nможно выбрать знаки так, что|<b>c</b>|$\le$$\sqrt{2}$.

На окружности радиуса 1 с центром <i>O</i>дано 2<i>n</i>+ 1 точек<i>P</i>₁,...,<i>P</i>_{2n + 1}, лежащих по одну сторону от некоторого диаметра. Докажите, что|$\overrightarrow{OP}{1}^{}$+...+$\overrightarrow{OP}{2n+1}^{}$|$\ge$1.

Дано восемь вещественных чисел<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>,<i>d</i>,<i>e</i>,<i>f</i>,<i>g</i>,<i>h</i>. Докажите, что хотя бы одно из шести чисел<i>ac</i>+<i>bd</i>,<i>ae</i>+<i>bf</i>,<i>ag</i>+<i>bh</i>,<i>ce</i>+<i>df</i>,<i>cg</i>+<i>dh</i>,<i>eg</i>+<i>fh</i>неотрицательно.

Точки<i>A</i>₁,...,<i>A</i>_nлежат на окружности с центром <i>O</i>, причем$\overrightarrow{OA_1}$+...+$\overrightarrow{OA_n}$=$\overrightarrow{0}$. Докажите, что для любой точки <i>X</i>справедливо неравенство<i>XA</i>₁+...+<i>XA</i>_n$\ge$<i>nR</i>, где <i>R</i> — радиус окружности.

Десять векторов таковы, что длина суммы любых девяти их них меньше длины суммы всех десяти векторов. Докажите, что существует ось, проекция на которую каждого из десяти векторов положительна.

Докажите, что из пяти векторов всегда можно выбрать два так, чтобы длина их суммы не превосходила длины суммы оставшихся трех векторов.

Даны точки <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>и <i>D</i>. Докажите, что<i>AB</i>²+<i>BC</i>²+<i>CD</i>²+<i>DA</i>²$\ge$<i>AC</i>²+<i>BD</i>², причем равенство достигается, только если<i>ABCD</i> — параллелограмм.