Олимпиадные задачи из источника «глава 13. Векторы» - сложность 2 с решениями

а) Докажите, что<i>S</i>(<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>) = -<i>S</i>(<i>B</i>,<i>A</i>,<i>C</i>) =<i>S</i>(<i>B</i>,<i>C</i>,<i>A</i>). б) Докажите, что для любых точек <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>и <i>D</i>справедливо равенство<i>S</i>(<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>) =<i>S</i>(<i>D</i>,<i>A</i>,<i>B</i>) +<i>S</i>(<i>D</i>,<i>B</i>,<i>C</i>) +<i>S</i>(<i>D</i>,<i>C</i>,<i>A</i>).

Пусть<b>a</b>= (<i>a</i>₁,<i>a</i>₂) и <b>b</b>= (<i>b</i>₁,<i>b</i>₂). Докажите, что<b>a</b>$\vee$<b>b</b>=<i>a</i>₁<i>b</i>₂-<i>a</i>₂<i>b</i>₁.

Докажите, что: а)($\lambda$<b>a</b>)$\vee$<b>b</b>=$\lambda$(<b>a</b>$\vee$<b>b</b>); б)<b>a</b>$\vee$(<b>b</b>+<b>c</b>) =<b>a</b>$\vee$<b>b</b>+<b>a</b>$\vee$<b>c</b>.

Точка <i>X</i>лежит внутри треугольника<i>ABC</i>,$\alpha$=<i>S</i>_BXC,$\beta$=<i>S</i>_CXAи $\gamma$=<i>S</i>_AXB. Пусть <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁ — проекции точек <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i>на произвольную прямую <i>l</i>. Докажите, что длина вектора$\alpha$$\overrightarrow{AA_1}$+$\beta$$\overrightarrow{BB_1}$+$\gamma$$\overrightarrow{CC_1}$равна($\alpha$+$\beta$+$\gamma$)<i>d</i>, где <i>d</i> — расстояние от точки <i>X</i>до прямой <i>l</i>.

На сторонах<i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>треугольника<i>ABC</i>взяты точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁. Отрезки<i>BB</i>₁и <i>CC</i>₁,<i>CC</i>₁и<i>AA</i>₁,<i>AA</i>₁и <i>BB</i>₁пересекаются в точках <i>A</i>₂,<i>B</i>₂и <i>C</i>₂соответственно. Докажите, что если$\overrightarrow{AA_2}$+$\overrightarrow{BB_2}$+$\overrightarrow{...

Через точку <i>M</i>пересечения медиан треугольника<i>ABC</i>проведена прямая, пересекающая прямые<i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>в точках <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁. Докажите, что(1/$\overline{MA_1}$) + (1/$\overline{MB_1}$) + (1/$\overline{MC_1}$) = 0 (отрезки<i>MA</i>₁,<i>MB</i>₁и <i>MC</i>₁считаются ориентированными).

Точки <i>A</i>и <i>B</i>движутся по двум фиксированным лучам с общим началом <i>O</i>так, что величина${\frac{p}{OA}}$+${\frac{q}{OB}}$остается постоянной. Докажите, что прямая<i>AB</i>при этом проходит через фиксированную точку.

Докажите, что из пяти векторов всегда можно выбрать два так, чтобы длина их суммы не превосходила длины суммы оставшихся трех векторов.

Даны точки <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>и <i>D</i>. Докажите, что<i>AB</i>²+<i>BC</i>²+<i>CD</i>²+<i>DA</i>²$\ge$<i>AC</i>²+<i>BD</i>², причем равенство достигается, только если<i>ABCD</i> — параллелограмм.

Докажите, что если диагонали четырехугольника<i>ABCD</i>перпендикулярны, то и диагонали любого другого четырехугольника с такими же длинами сторон перпендикулярны.

Сумма четырех единичных векторов равна нулю. Докажите, что их можно разбить на две пары противоположных векторов.

Из точки, лежащей внутри выпуклого<i>n</i>-угольника, проведены лучи, перпендикулярные его сторонам и пересекающие стороны (или их продолжения). На этих лучах отложены векторы<b>a</b>₁,...,<b>a</b>_n, длины которых равны длинам соответствующих сторон. Докажите, что<b>a</b>₁+...+<b>a</b>_n= 0.

Стороны треугольника <i>T</i>параллельны медианам треугольника <i>T</i>₁. Докажите, что медианы треугольника <i>T</i>параллельны сторонам треугольника <i>T</i>₁.

а) Докажите, что из медиан треугольника можно составить треугольник. б) Из медиан треугольника<i>ABC</i>составлен треугольник<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁, а из медиан треугольника<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁составлен треугольник<i>A</i>₂<i>B</i>₂<i>C</i>₂. Докажите, что треугольники<i>ABC</i>и <i>A</i>₂<i>B</i>₂<i>C</i>₂подобны, причем коэффициент подобия...