Задача
Пусть Oи R — центр и радиус описанной окружности треугольникаABC,Zи r — центр и радиус его вписанной окружности;K — точка пересечения медиан треугольника с вершинами в точках касания вписанной окружности со сторонами треугольникаABC. Докажите, что точка Zлежит на отрезкеOK, причемOZ:ZK= 3R:r.
Решение
Пусть вписанная окружность касается сторонAB,BCи CAв точках U,Vи W. Требуется доказать, что$\overrightarrow{OZ}$=${\frac{3R}{r}}$$\overrightarrow{ZK}$, т. е.$\overrightarrow{OZ}$=${\frac{R}{r}}$($\overrightarrow{ZU}$+$\overrightarrow{ZV}$+$\overrightarrow{ZW}$). Докажем, например, что проекции (с учетом знака) этих векторов на прямуюBCравны; положительным при этом будем считать направление лучаBC. Пусть N — проекция точки Oна прямуюBC. Тогда проекция вектора$\overrightarrow{OZ}$на прямуюBCравна$\overrightarrow{NV}$=$\overrightarrow{NC}$+$\overrightarrow{CV}$= (a/2) - (a+b-c)/2 = (c-b)/2. А проекция вектора$\overrightarrow{ZU}$+$\overrightarrow{ZV}$+$\overrightarrow{ZW}$на эту прямую равна проекции вектора$\overrightarrow{ZU}$+$\overrightarrow{ZW}$, т. е. равна
- r sin VZU + r sin VZW = - r sin B + r sin C = r(c - b)/2R.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь