Олимпиадные задачи из источника «параграф 5. Вспомогательные проекции»

Пусть <i>O</i>и <i>R</i> — центр и радиус описанной окружности треугольника<i>ABC</i>,<i>Z</i>и <i>r</i> — центр и радиус его вписанной окружности;<i>K</i> — точка пересечения медиан треугольника с вершинами в точках касания вписанной окружности со сторонами треугольника<i>ABC</i>. Докажите, что точка <i>Z</i>лежит на отрезке<i>OK</i>, причем<i>OZ</i>:<i>ZK</i>= 3<i>R</i>:<i>r</i>.

Пусть <i>a</i>,<i>b</i>и <i>c</i> — длины сторон треугольника<i>ABC</i>,<b>n</b>_a,<b>n</b>_bи <b>n</b>_c — векторы единичной длины, перпендикулярные соответствующим сторонам и направленные во внешнюю сторону. Докажите, что<div align="CENTER"> <i>a</i>³<b>n</b>_a + <i>b</i>³<b>n</b>_b + <i>c</i>³<b>n</b>_c = 12<i>S</i>^.$\displaystyle \overrightarrow{MO}$, </div>где <i>S</i...

Пусть<b>a</b>₁,<b>a</b>₂, ...,<b>a</b>_{2n + 1}— векторы длины 1. Докажите, что в сумме<b>c</b>= ±<b>a</b>₁±<b>a</b>₂±...±<b>a</b>_{2n + 1}знаки можно выбрать так, что|<b>c</b>|$\le$1.

Выпуклый 2<i>n</i>-угольник<i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A</i>_2nвписан в окружность радиуса 1. Докажите, что<div align="CENTER"> |$\displaystyle \overrightarrow{A_1A_2}$ + $\displaystyle \overrightarrow{A_3A_4}$ +...+ $\displaystyle \overrightarrow{A_{2n-1}A_{2n}}$|$\displaystyle \le$2. </div>

Точка <i>X</i>лежит внутри треугольника<i>ABC</i>,$\alpha$=<i>S</i>_BXC,$\beta$=<i>S</i>_CXAи $\gamma$=<i>S</i>_AXB. Пусть <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁ — проекции точек <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i>на произвольную прямую <i>l</i>. Докажите, что длина вектора$\alpha$$\overrightarrow{AA_1}$+$\beta$$\overrightarrow{BB_1}$+$\gamma$$\overrightarrow{CC_1}$равна($\alpha$+$\beta$+$\gamma$)<i>d</i>, где <i>d</i> — расстояние от точки <i>X</i>до прямой <i>l</i>.