Задача
Сумма длин нескольких векторов на плоскости равна L. Докажите, что из этих векторов можно выбрать некоторое число векторов (может быть, только один) так, что длина их суммы будет не меньшеL/$\pi$.
Решение
Если сумма длин векторов равна L, то согласно замечанию к задаче 13.39среднее значение суммы длин проекций этих векторов равно 2L/$\pi$. Функция fна отрезке [a,b] не может быть всюду меньше своего среднего значения c, так как иначе
c=$\displaystyle {\frac{1}{b-a}}$$\displaystyle \int\limits_{a}^{b}$f (x) dx < $\displaystyle {\frac{(b-a)c}{b-a}}$=c.
Поэтому найдется такая прямая l, что сумма длин проекций
исходных векторов на нее не меньше 2L/$\pi$.
Зададим на прямой lнаправление. Тогда либо сумма длин
положительных проекций на это направление, либо сумма длин
отрицательных проекций не меньшеL/$\pi$. Поэтому либо длина
суммы векторов, дающих положительные проекции, либо длина
суммы векторов, дающих отрицательные проекции, не меньшеL/$\pi$.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет