Олимпиадные задачи из источника «глава 13. Векторы» - сложность 4 с решениями

Дан треугольник<i>ABC</i>и точка <i>P</i>. Точка <i>Q</i>такова, что<i>CQ</i>||<i>AP</i>, а точка <i>R</i>такова, что<i>AR</i>||<i>BQ</i>и <i>CR</i>||<i>BP</i>. Докажите, что<i>S</i>_ABC=<i>S</i>_PQR.

Точки <i>P</i>₁,<i>P</i>₂и <i>P</i>₃, не лежащие на одной прямой, расположены внутри выпуклого 2<i>n</i>-угольника<i>A</i>₁...<i>A</i>_2n. Докажите, что если сумма площадей треугольников<i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>P</i>_i,<i>A</i>₃<i>A</i>₄<i>P</i>_i,...,<i>A</i>_{2n - 1}<i>A</i>_2n<i>P</i>_iравна одному и тому...

Докажите, что если длины всех сторон и диагоналей выпуклого многоугольника меньше <i>d</i>, то его периметр меньше$\pi$<i>d</i>.

Сумма длин нескольких векторов на плоскости равна <i>L</i>. Докажите, что из этих векторов можно выбрать некоторое число векторов (может быть, только один) так, что длина их суммы будет не меньше<i>L</i>/$\pi$.

Докажите, что если один выпуклый многоугольник лежит внутри другого, то периметр внутреннего многоугольника не превосходит периметра внешнего.

Даны два набора векторов<b>a</b>₁,...,<b>a</b>_nи <b>b</b>₁,...,<b>b</b>_m, причем сумма длин проекций векторов первого набора на любую прямую не больше суммы длин проекций векторов второго набора на ту же прямую. Докажите, что сумма длин векторов первого набора не больше суммы длин векторов второго набора.

Пусть <i>O</i>и <i>R</i> — центр и радиус описанной окружности треугольника<i>ABC</i>,<i>Z</i>и <i>r</i> — центр и радиус его вписанной окружности;<i>K</i> — точка пересечения медиан треугольника с вершинами в точках касания вписанной окружности со сторонами треугольника<i>ABC</i>. Докажите, что точка <i>Z</i>лежит на отрезке<i>OK</i>, причем<i>OZ</i>:<i>ZK</i>= 3<i>R</i>:<i>r</i>.

Пусть <i>a</i>,<i>b</i>и <i>c</i> — длины сторон треугольника<i>ABC</i>,<b>n</b>_a,<b>n</b>_bи <b>n</b>_c — векторы единичной длины, перпендикулярные соответствующим сторонам и направленные во внешнюю сторону. Докажите, что<div align="CENTER"> <i>a</i>³<b>n</b>_a + <i>b</i>³<b>n</b>_b + <i>c</i>³<b>n</b>_c = 12<i>S</i>^.$\displaystyle \overrightarrow{MO}$, </div>где <i>S</i...

Пусть<b>a</b>₁,<b>a</b>₂, ...,<b>a</b>_{2n + 1}— векторы длины 1. Докажите, что в сумме<b>c</b>= ±<b>a</b>₁±<b>a</b>₂±...±<b>a</b>_{2n + 1}знаки можно выбрать так, что|<b>c</b>|$\le$1.

Выпуклый 2<i>n</i>-угольник<i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A</i>_2nвписан в окружность радиуса 1. Докажите, что<div align="CENTER"> |$\displaystyle \overrightarrow{A_1A_2}$ + $\displaystyle \overrightarrow{A_3A_4}$ +...+ $\displaystyle \overrightarrow{A_{2n-1}A_{2n}}$|$\displaystyle \le$2. </div>

Четырехугольник<i>ABCD</i>вписан в окружность радиуса <i>R</i>. а) Пусть <i>S</i>_a — окружность радиуса <i>R</i>с центром в ортоцентре треугольника<i>BCD</i>; окружности <i>S</i>_b,<i>S</i>_cи <i>S</i>_dопределяются аналогично. Докажите, что эти четыре окружности пересекаются в одной точке. б) Докажите, что окружности девяти точек треугольников<i>ABC</i>,<i>BCD</i>,<i>CDA</i>и <i>DAB</i>пересекаются в одной точке.

На окружности радиуса 1 с центром <i>O</i>дано 2<i>n</i>+ 1 точек<i>P</i>₁,...,<i>P</i>_{2n + 1}, лежащих по одну сторону от некоторого диаметра. Докажите, что|$\overrightarrow{OP}{1}^{}$+...+$\overrightarrow{OP}{2n+1}^{}$|$\ge$1.

В выпуклом четырехугольнике сумма расстояний от вершины до сторон одна и та же для всех вершин. Докажите, что этот четырехугольник является параллелограммом.

Докажите, что в выпуклом<i>k</i>-угольнике сумма расстояний от любой внутренней точки до сторон постоянна тогда и только тогда, когда сумма векторов единичных внешних нормалей равна нулю.

Даны четыре попарно непараллельных вектора, сумма которых равна нулю. Докажите, что из них можно составить: а) невыпуклый четырехугольник; б) самопересекающуюся четырехзвенную ломаную.

Дано <i>n</i>попарно не сонаправленных векторов (<i>n</i>$\ge$3), сумма которых равна нулю. Докажите, что существует выпуклый<i>n</i>-угольник, набор векторов сторон которого совпадает с данным набором векторов.