Олимпиадные задачи из источника «глава 11. Задачи на максимум и минимум» для 5-11 класса - сложность 2-3 с решениями
Докажите, что из всех треугольников данного периметра 2<i>p</i> равносторонний имеет наибольшую плошадь.
Треугольники<i>ABC</i><sub>1</sub>и<i>ABC</i><sub>2</sub>имеют общее основание<i>AB</i>и $\angle$<i>AC</i><sub>1</sub><i>B</i>=$\angle$<i>AC</i><sub>2</sub><i>B</i>. Докажите, что если|<i>AC</i><sub>1</sub>-<i>C</i><sub>1</sub><i>B</i>| < |<i>AC</i><sub>2</sub>-<i>C</i><sub>2</sub><i>B</i>|, то: а) площадь треугольника<i>ABC</i><sub>1</sub>больше площади треугольника<i>ABC</i><sub>2</sub>; б) периметр треугольника<i>ABC</i><sub>1</sub>больше периметра треугольника<i...
Чему равно наибольшее число клеток шахматной доски размером 8×8, которые можно разрезать одной прямой?
В городе 10 улиц, параллельных друг другу, и 10 улиц, пересекающих их под прямым углом. Какое наименьшее число поворотов может иметь замкнутый автобусный маршрут, проходящий через все перекрестки?
Если на плоскости заданы пять точек, то, рассматривая всевозможные тройки этих точек, можно образовать 30 углов. Обозначим наименьший из этих углов $\alpha$. Найдите наибольшее значение $\alpha$.
Точки <i>A</i>,<i>B</i>и <i>O</i>не лежат на одной прямой. Проведите через точку <i>O</i>прямую <i>l</i>так, чтобы сумма расстояний от нее до точек <i>A</i>и <i>B</i>была: а) наибольшей; б) наименьшей.
Даны прямая <i>l</i>и точки <i>P</i>и <i>Q</i>, лежащие по одну сторону от нее. На прямой <i>l</i>берем точку <i>M</i>и в треугольнике<i>PQM</i>проводим высоты<i>PP'</i>и<i>QQ'</i>. При каком положении точки <i>M</i>длина отрезка<i>P'Q'</i>минимальна?
На плоскости даны прямая <i>l</i>и точки <i>A</i>и <i>B</i>, лежащие по разные стороны от нее. Постройте окружность, проходящую через точки <i>A</i>и <i>B</i>так, чтобы прямая <i>l</i>высекала на ней хорду наименьшей длины.
Внутри окружности с центром <i>O</i>дана точка <i>A</i>. Найдите точку <i>M</i>окружности, для которой угол<i>OMA</i>максимален.
Среди всех многоугольников, вписанных в данную окружность, найдите тот, у которого максимальна сумма квадратов длин сторон.
Многоугольник имеет центр симметрии <i>O</i>. Докажите, что сумма расстояний до вершин минимальна для точки <i>O</i>.
Площадь трапеции равна 1. Какую наименьшую величину может иметь наибольшая диагональ этой трапеции?
Трапеция<i>ABCD</i>с основанием<i>AD</i>разрезана диагональю<i>AC</i>на два треугольника. Прямая <i>l</i>, параллельная основанию, разрезает эти треугольники на два треугольника и два четырехугольника. При каком положении прямой <i>l</i>сумма площадей полученных треугольников минимальна?
Диагонали выпуклого четырехугольника<i>ABCD</i>пересекаются в точке <i>O</i>. Какую наименьшую площадь может иметь этот четырехугольник, если площадь треугольника<i>AOB</i>равна 4, а площадь треугольника<i>COD</i>равна 9?
Внутри острого угла<i>BAC</i>дана точка <i>M</i>. Постройте на сторонах<i>BA</i>и <i>AC</i>точки <i>X</i>и <i>Y</i>так, чтобы периметр треугольника<i>XYM</i>был минимальным.
Даны угол<i>XAY</i>и окружность внутри его. Постройте точку окружности, сумма расстояний от которой до прямых<i>AX</i>и<i>AY</i>минимальна.
Проведите через данную точку <i>P</i>, лежащую внутри угла<i>AOB</i>, прямую<i>MN</i>так, чтобы величина<i>OM</i>+<i>ON</i>была минимальной (точки <i>M</i>и <i>N</i>лежат на сторонах<i>OA</i>и<i>OB</i>).
Дан угол<i>XAY</i>и точка <i>O</i>внутри его. Проведите через точку <i>O</i>прямую, отсекающую от данного угла треугольник наименьшей площади.
Из точки <i>M</i>, лежащей внутри данного треугольника <i>ABC</i>, опущены перпендикуляры <i>MA</i><sub>1</sub>, <i>MB</i><sub>1</sub>, <i>MC</i><sub>1</sub> на прямые <i>BC, CA, AB</i>. Для каких точек <i>M</i> внутри данного треугольника <i>ABC</i> величина <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/57540/problem_57540_img_2.gif"> принимает наименьшее значение?
Точки <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub> и <i>C</i><sub>1</sub> взяты на сторонах <i>BC, CA</i> и <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i>, причём отрезки <i>AA</i><sub>1</sub>, <i>BB</i><sub>1</sub> и <i>CC</i><sub>1</sub> пересекаются в одной точке <i>M</i>.
При каком положении точки <i>M</i> величина <sup><i>MA</i><sub>1</sub></sup>/<sub><i>AA</i><sub>1</sub></sub>·<sup><i>MB</i><sub>1</sub></sup>/<sub><i>BB</i><sub>1</sub></sub>·<sup>...
Внутри треугольника <i>ABC</i> взята точка <i>O</i>. Пусть <i>d<sub>a</sub>, d<sub>b</sub>, d<sub>c</sub></i> – расстояния от нее до прямых <i>BC, CA, AB</i>.
При каком положении точки <i>O</i> произведение <i>d<sub>a</sub>d<sub>b</sub>d<sub>c</sub></i> будет наибольшим?
Из точки <i>M</i>описанной окружности треугольника<i>ABC</i>опущены перпендикуляры<i>MP</i>и<i>MQ</i>на прямые<i>AB</i>и<i>AC</i>. При каком положении точки <i>M</i>длина отрезка<i>PQ</i>максимальна?
Дан треугольник<i>ABC</i>. Найдите на прямой<i>AB</i>точку <i>M</i>, для которой сумма радиусов описанных окружностей треугольников<i>ACM</i>и<i>BCM</i>была бы наименьшей.
На гипотенузе <i>AB</i> прямоугольного треугольника <i>ABC</i> взята точка <i>X, M</i> и <i>N</i> – её проекции на катеты <i>AC</i> и <i>BC</i>.
а) При каком положении точки <i>X</i> длина отрезка <i>MN</i> будет наименьшей?
б) При каком положении точки <i>X</i> площадь четырёхугольника <i>CMXN</i> будет наибольшей?
Докажите, что если α, β, γ и α<sub>1</sub>, β<sub>1</sub>, γ<sub>1</sub> – углы двух треугольников, то <sup>cos α<sub>1</sub></sup>/<sub>sin α</sub> + <sup>cos β<sub>1</sub></sup>/<sub>sin β</sub> + <sup>cos γ<sub>1</sub></sup>/<sub>sin γ</sub> ≤ ctg α + ctg β + ctg γ.