Задача
Докажите, что если α, β, γ и α1, β1, γ1 – углы двух треугольников, то cos α1/sin α + cos β1/sin β + cos γ1/sin γ ≤ ctg α + ctg β + ctg γ.
Решение
Фиксируем углы α, β и γ. Пусть A1B1C1 – треугольник с углами α1, β1 и γ1. Рассмотрим
векторы a, b и c, сонаправленные с векторами 
, 
и 
и имеющие длины
sin α, sin β и sin γ. Тогда
cos α1/sin α + cos β1/sin β + cos γ1/sin γ = – (a, b) + (b, c) + (c, a)/sin α sin β sin γ. А так как
2((a, b) + (b, c) + (c, a)) = |a + b + c|² – |a|² – |b|² – |c|², то величина
(a, b) + (b, c) + (c, a) минимальна, когда a + b + c = 0, то есть α1 = α, β1 = β, γ1 = γ.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет