Олимпиадные задачи из источника «глава 11. Задачи на максимум и минимум» для 2-9 класса - сложность 3-4 с решениями
Докажите, что из всех треугольников данного периметра 2<i>p</i> равносторонний имеет наибольшую плошадь.
Треугольники<i>ABC</i><sub>1</sub>и<i>ABC</i><sub>2</sub>имеют общее основание<i>AB</i>и $\angle$<i>AC</i><sub>1</sub><i>B</i>=$\angle$<i>AC</i><sub>2</sub><i>B</i>. Докажите, что если|<i>AC</i><sub>1</sub>-<i>C</i><sub>1</sub><i>B</i>| < |<i>AC</i><sub>2</sub>-<i>C</i><sub>2</sub><i>B</i>|, то: а) площадь треугольника<i>ABC</i><sub>1</sub>больше площади треугольника<i>ABC</i><sub>2</sub>; б) периметр треугольника<i>ABC</i><sub>1</sub>больше периметра треугольника<i...
Какое наибольшее число точек можно поместить на отрезке длиной 1 так, чтобы на любом отрезке длиной <i>d</i>, содержащемся в этом отрезке, лежало не больше 1 + 1000<i>d</i><sup>2</sup>точек?
Чему равно наибольшее число клеток шахматной доски размером 8×8, которые можно разрезать одной прямой?
В городе 10 улиц, параллельных друг другу, и 10 улиц, пересекающих их под прямым углом. Какое наименьшее число поворотов может иметь замкнутый автобусный маршрут, проходящий через все перекрестки?
Точки <i>A</i>,<i>B</i>и <i>O</i>не лежат на одной прямой. Проведите через точку <i>O</i>прямую <i>l</i>так, чтобы сумма расстояний от нее до точек <i>A</i>и <i>B</i>была: а) наибольшей; б) наименьшей.
Даны прямая <i>l</i>и точки <i>P</i>и <i>Q</i>, лежащие по одну сторону от нее. На прямой <i>l</i>берем точку <i>M</i>и в треугольнике<i>PQM</i>проводим высоты<i>PP'</i>и<i>QQ'</i>. При каком положении точки <i>M</i>длина отрезка<i>P'Q'</i>минимальна?
На плоскости даны прямая <i>l</i>и точки <i>A</i>и <i>B</i>, лежащие по разные стороны от нее. Постройте окружность, проходящую через точки <i>A</i>и <i>B</i>так, чтобы прямая <i>l</i>высекала на ней хорду наименьшей длины.
Дан выпуклый многоугольник<i>A</i><sub>1</sub>...<i>A</i><sub>n</sub>. Докажите, что точка многоугольника, для которой максимальна сумма расстояний от нее до всех вершин, является вершиной.
Среди всех многоугольников, вписанных в данную окружность, найдите тот, у которого максимальна сумма квадратов длин сторон.
На основании<i>AD</i>трапеции<i>ABCD</i>дана точка <i>K</i>. Найдите на основании<i>BC</i>точку <i>M</i>, для которой площадь общей части треугольников<i>AMD</i>и<i>BKC</i>максимальна.
Дан угол<i>XAY</i>. Концы <i>B</i>и <i>C</i>отрезков<i>BO</i>и<i>CO</i>длиной 1 перемещаются по лучам<i>AX</i>и<i>AY</i>. Постройте четырехугольник<i>ABOC</i>наибольшей площади.
Внутри острого угла<i>BAC</i>дана точка <i>M</i>. Постройте на сторонах<i>BA</i>и <i>AC</i>точки <i>X</i>и <i>Y</i>так, чтобы периметр треугольника<i>XYM</i>был минимальным.
Даны угол<i>XAY</i>и окружность внутри его. Постройте точку окружности, сумма расстояний от которой до прямых<i>AX</i>и<i>AY</i>минимальна.
Дан угол<i>XAY</i>и точка <i>O</i>внутри его. Проведите через точку <i>O</i>прямую, отсекающую от данного угла треугольник наименьшей площади.
Из точки <i>M</i>, лежащей внутри данного треугольника <i>ABC</i>, опущены перпендикуляры <i>MA</i><sub>1</sub>, <i>MB</i><sub>1</sub>, <i>MC</i><sub>1</sub> на прямые <i>BC, CA, AB</i>. Для каких точек <i>M</i> внутри данного треугольника <i>ABC</i> величина <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/57540/problem_57540_img_2.gif"> принимает наименьшее значение?
Точки <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub> и <i>C</i><sub>1</sub> взяты на сторонах <i>BC, CA</i> и <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i>, причём отрезки <i>AA</i><sub>1</sub>, <i>BB</i><sub>1</sub> и <i>CC</i><sub>1</sub> пересекаются в одной точке <i>M</i>.
При каком положении точки <i>M</i> величина <sup><i>MA</i><sub>1</sub></sup>/<sub><i>AA</i><sub>1</sub></sub>·<sup><i>MB</i><sub>1</sub></sup>/<sub><i>BB</i><sub>1</sub></sub>·<sup>...
Внутри треугольника <i>ABC</i> взята точка <i>O</i>. Пусть <i>d<sub>a</sub>, d<sub>b</sub>, d<sub>c</sub></i> – расстояния от нее до прямых <i>BC, CA, AB</i>.
При каком положении точки <i>O</i> произведение <i>d<sub>a</sub>d<sub>b</sub>d<sub>c</sub></i> будет наибольшим?
Из точки <i>M</i>описанной окружности треугольника<i>ABC</i>опущены перпендикуляры<i>MP</i>и<i>MQ</i>на прямые<i>AB</i>и<i>AC</i>. При каком положении точки <i>M</i>длина отрезка<i>PQ</i>максимальна?
Дан треугольник со сторонами <i>a, b</i> и <i>c</i>, причём <i>a ≥ b ≥ c</i>; <i>x, y</i> и <i>z</i> – углы некоторого другого треугольника. Докажите, что <div align="CENTER"><i>bc + ca – ab < bc</i> cos <i>x + ca</i> cos <i>y + ab</i> cos <i>z</i> ≤ ½ (<i>a</i>² + <i>b</i>² + <i>c</i>²). </div>
Пусть <i>a, b</i> и <i>c</i> – длины сторон треугольника площади <i>S</i>; α<sub>1</sub>, β<sub>1</sub> и γ<sub>1</sub> – углы некоторого другого треугольника. Докажите, что
<i>a</i>² ctg α<sub>1</sub> + <i>b</i>² ctg β<sub>1</sub> + <i>c</i>² ctg γ<sub>1</sub> ≥ 4<i>S</i>, причём равенство достигается, только когда рассматриваемые треугольники подобны.
Докажите, что если α, β, γ и α<sub>1</sub>, β<sub>1</sub>, γ<sub>1</sub> – углы двух треугольников, то <sup>cos α<sub>1</sub></sup>/<sub>sin α</sub> + <sup>cos β<sub>1</sub></sup>/<sub>sin β</sub> + <sup>cos γ<sub>1</sub></sup>/<sub>sin γ</sub> ≤ ctg α + ctg β + ctg γ.
Какую наименьшую ширину должна иметь бесконечная полоса бумаги, из которой можно вырезать любой треугольник площадью 1?
Площадь треугольника<i>ABC</i>равна 1. Пусть <i>A</i><sub>1</sub>,<i>B</i><sub>1</sub>,<i>C</i><sub>1</sub> — середины сторон<i>BC</i>,<i>CA</i>,<i>AB</i>соответственно. На отрезках<i>AB</i><sub>1</sub>,<i>CA</i><sub>1</sub>,<i>BC</i><sub>1</sub>взяты точки <i>K</i>,<i>L</i>,<i>M</i>соответственно. Чему равна минимальная площадь общей части треугольников<i>KLM</i>и <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>?
В данный треугольник поместите центрально симметричный многоугольник наибольшей площади.