Так как площадь правильного треугольника со стороной aравнаa²$\sqrt{3}$/4, сторона правильного треугольника площадью 1 равна2/$\sqrt[4]{3}$, а его высота $\sqrt[4]{3}$. Докажем, что из полосы шириной меньше $\sqrt[4]{3}$нельзя вырезать правильный треугольник площадью 1. Пусть правильный треугольникABCлежит внутри полосы шириной меньше $\sqrt[4]{3}$. Пусть для определенности проекция вершины Bна границу полосы лежит между проекциями вершин Aи C. Тогда прямая, проведенная через точку Bперпендикулярно границе полосы, пересекает отрезокACв некоторой точке M. Высота треугольникаABCне превосходитBM, аBMне больше ширины полосы, поэтому высота треугольникаABCменьше $\sqrt[4]{3}$, т. е. его площадь меньше 1. Остается доказать, что из полосы шириной $\sqrt[4]{3}$можно вырезать любой треугольник площадью 1. Докажем, что у любого треугольника площадью 1 есть высота, не превосходящая $\sqrt[4]{3}$. Для этого достаточно доказать, что у него есть сторона не меньше2/$\sqrt[4]{3}$. Предположим, что все стороны треугольникаABCменьше2/$\sqrt[4]{3}$. Пусть $\alpha$ — наименьший угол этого треугольника. Тогда$\alpha$$\le$60^oиS_ABC= (AB ^. ACsin$\alpha$)/2 < (2/$\sqrt[4]{3}$)²($\sqrt{3}$/4) = 1. Получено противоречие. Треугольник, у которого есть высота, не превосходящая $\sqrt[4]{3}$, можно поместить в полосу шириной $\sqrt[4]{3}$, положив сторону, на которую опущена эта высота, на сторону полосы.

Ответ задачи отсутствует