Олимпиадные задачи из источника «Московская устная олимпиада по геометрии» для 9 класса - сложность 2-3 с решениями
Московская устная олимпиада по геометрии
НазадВосстановите треугольник с помощью циркуля и линейки по точке пересечения высот и основаниям медианы и биссектрисы, проведённых к одной из сторон.
Дана окружность и хорда <i>AB</i>, отличная от диаметра. По большей дуге <i>AB</i> движется точка <i>C</i>. Окружность, проходящая через точки <i>A</i>, <i>C</i> и точку <i>H</i> пересечения высот треугольника <i>ABC</i>, повторно пересекает прямую <i>BC</i> в точке <i>P</i>. Докажите, что прямая <i>PH</i> проходит через фиксированную точку, не зависящую от положения точки <i>C</i>.
В треугольнике <i>ABC</i> точка <i>I</i> – центр вписанной окружности, точки <i>I<sub>A</sub></i>, <i>I<sub>C</sub></i> – центры вневписанных окружностей, касающихся сторон <i>BC</i> и <i>AB</i> соответственно. Точка <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>II<sub>A</sub>I<sub>C</sub></i>. Докажите, что <i>OI</i> ⊥ <i>AC</i>.
Дан равносторонний треугольник <i>ABC</i> и прямая <i>l</i>, проходящая через его центр. Точки пересечения этой прямой со сторонами <i>AB</i> и <i>BC</i> отразили относительно середин этих сторон соответственно. Докажите, что прямая, проходящая через получившиеся точки, касается вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>.
На плоскости даны два равных многоугольника <i>F</i> и <i>F'</i>. Известно, что все вершины многоугольника <i>F</i> принадлежат <i>F'</i> (могут лежать внутри него или на границе). Верно ли, что все вершины этих многоугольников совпадают?
В трапеции <i>ABCD</i> стороны <i>AD</i> и <i>BC</i> параллельны, и <i>AB = BC = BD</i>. Высота <i>BK</i> пересекает диагональ <i>AC</i> в точке <i>M</i>. Найдите ∠<i>CDM</i>.
B остроугольном треугольнике ровно один из углов равен 60°. Докажите, что прямая, проходящая через центр описанной окружности и точку пересечения медиан треугольника, отсекает от него равносторонний треугольник.
Hа сторонах треугольника <i>ABC</i> во внешнюю сторону построены правильные треугольники <i>ABC</i><sub>1</sub>, <i>BCA</i><sub>1</sub>, <i>CAB</i><sub>1</sub>. Hа отрезке <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub> во внешнюю сторону треугольника <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> построен правильный треугольник <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>2</sub>. Докажите, что <i>C</i> – середина отрезка <i>C</i><sub>1</sub><i>C</i><...
Дан произвольный треугольник <i>ABC</i>. Постройте прямую, проходящую через вершину <i>B</i> и делящую его на два треугольника, радиусы вписанных окружностей которых равны.
Hа сторонах <i>AB</i>, <i>BC</i> и <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> выбраны точки <i>C</i>', <i>A</i>' и <i>B</i>' соответственно так, что угол <i>A</i>'<i>C</i>'<i>B</i>' — прямой. Докажите, что отрезок <i>A</i>'<i>B</i>' длиннее диаметра вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>.
Oпределите отношение сторон прямоугольника, описанного около уголка из пяти клеток.
Диагонали вписанного четырехугольника <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>K</i>.
Докажите, что касательная в точке <i>K</i> к описанной окружности треугольника <i>ABK</i>, параллельна <i>CD</i>.
Пусть <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub>, <i>C</i><sub>1</sub> – середины сторон треугольника <i>ABC, I</i> – центр вписанной в него окружности, <i>C</i><sub>2</sub> – точка пересечения прямых <i>C</i><sub>1</sub><i>I</i> и <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub>, <i>C</i><sub>3</sub> – точка пересечения прямых <i>CC</i><sub>2</sub> и <i>AB</i>. Докажите, что прямая <i>IC</i><sub>3</sub> перпендикулярна прямой <i>AB</i>.
В окружность вписан треугольник <i>ABC</i>. Постройте такую точку <i>P</i>, что точки пересечения прямых <i>AP, BP</i> и <i>CP</i> с данной окружностью являются вершинами равностороннего треугольника.
Дан шестиугольник <i>ABCDEF</i>, в котором <i>AB</i> = <i>BC</i>, <i>CD</i> = <i>DE</i>, <i>EF</i> = <i>FA</i>, а углы <i>A</i> и <i>C</i> — прямые. Докажите, что прямые <i>FD</i> и <i>BE</i> перпендикулярны.
В треугольнике <i>ABC</i> на стороне <i>AB</i> выбраны точки <i>K</i> и <i>L</i> так, что <i>AK</i> = <i>BL</i>, а на стороне <i>BC</i> — точки <i>M</i> и <i>N</i> так, что <i>CN</i> = <i>BM</i>. Докажите, что <i>KN</i> + <i>LM</i> ≥ <i>AC</i>.
Дан треугольник <i>АВС.</i> Точка <i>О</i><sub>1</sub> – центр прямоугольника <i>ВСDE</i>, построенного так, что сторона <i>DE</i> прямоугольника содержит вершину <i>А</i> треугольника. Точки <i>О</i><sub>2</sub> и <i>О</i><sub>3</sub> являются центрами прямоугольников, построенных аналогичным образом на сторонах <i>АС</i> и <i>АВ</i> соответственно. Докажите, что прямые <i>АО</i><sub>1</sub>, <i>ВО</i><sub>2</sub> и <i>СО</i><sub>3</sub> пересекаются в одной точке.
В треугольнике <i>ABC</i> <i>M</i> – точка пересечения медиан, <i>O</i> – центр вписанной окружности, <i>A'</i>, <i>B'</i>, <i>C'</i> – точки ее касания со сторонами <i>BC</i>, <i>CA</i>, <i>AB</i> соответственно. Докажите, что, если <i>CA' </i>= <i>AB</i>, то прямые <i>OM</i> и <i>AB</i> перпендикулярны.
Внутри отрезка <i>АС</i> выбрана произвольная точка <i>В</i> и построены окружности с диаметрами <i>АВ</i> и <i>ВС</i>. На окружностях (в одной полуплоскости относительно <i>АС</i>) выбраны соответственно точки <i>M</i> и <i>L</i> так, что ∠<i>MBA</i> = ∠<i>LBC</i>. Точки <i>K</i> и <i>F</i> отмечены соответственно на лучах <i>ВМ</i> и <i>BL</i> так, что
<i>BK = BC</i> и <i>BF = AB</i>. Докажите, что точки <i>M, K, F</i> и <i>L</i> лежат на одной окружности.
В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i> ∠<i>ABC</i> = 90°, ∠<i>BAC</i> = ∠<i>CAD, AC = AD, DH</i> – высота треугольника <i>ACD</i>.
В каком отношении прямая <i>BH</i> делит отрезок <i>CD</i>?
Постройте треугольник по стороне, противолежащему углу и медиане, проведенной к другой стороне (<i>исследование вопроса о количестве решений не требуется</i>).
Дана окружность и точка <i>P</i> внутри неё. Два произвольных перпендикулярных луча с началом в точке <i>P</i> пересекают окружность в точках <i>A</i> и <i>B</i>. Tочка <i>X</i> является проекцией точки <i>P</i> на прямую <i>AB</i>, <i>Y</i> – точка пересечения касательных к окружности, проведённых через точки <i>A</i> и <i>B</i>. Докажите, что все прямые <i>XY</i> проходят через одну и ту же точку.
Cередины противолежащих сторон шестиугольника соединены отрезками. Oказалось, что точки попарного пересечения этих отрезков образуют равносторонний треугольник. Докажите, что проведённые отрезки равны.
B некоторой трапеции сумма длин боковой стороны и диагонали равна сумме длин другой боковой стороны и другой диагонали.
Докажите, что трапеция равнобокая.
Две окружности пересекаются в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Tочка <i>A</i> лежит на первой окружности, но вне второй. Прямые <i>AP</i> и <i>AQ</i> пересекают вторую окружность в точках <i>B</i> и <i>C</i> соответственно. Укажите положение точки <i>A</i>, при котором треугольник <i>ABC</i> имеет наибольшую площадь.