Назад

Олимпиадная задача по планиметрии: точки пересечения прямых в треугольнике АВС (9–10 классы)

Задача 216182 • Сложность: 3 • 9-10 класс
Задача

Дан треугольник АВС. Точка О1 – центр прямоугольника ВСDE, построенного так, что сторона DE прямоугольника содержит вершину А треугольника. Точки О2 и О3 являются центрами прямоугольников, построенных аналогичным образом на сторонах АС и АВ соответственно. Докажите, что прямые АО1, ВО2 и СО3 пересекаются в одной точке.

Авторы:
Мякишев А. Г.
Разделы:
Планиметрия
Источники:
Московская устная олимпиада по геометрии Олимпиады и турниры 01 (2003 год)
Количество версий:
5
Решение

  Опустим перпендикуляр из точки О1 на сторону ВС (см. рис.). Основание этого перпендикуляра – точка А0 – является серединой стороны ВС.

  Продолжим отрезок АО1 до пересечения со стороной ВС в точке А1. О1 – середина отрезка АА1.

  Проведём в треугольнике АВС высоту АА2. Так как  О1А0 || АА2,  то точка А0 является серединой отрезка А1А2. Таким образом, точки А1 и А2 симметричны относительно точки А0, значит  СА1 = BA2  и  BА1 = CA2.

  Рассмотрев аналогичным образом прямыеВО2иСО3, получим, что  CB1=AB2, AB1=CB2, AС1=BC2  и  BС1=AC2,  гдеВ1иC1– точки пересечения этих прямых с противолежащими сторонами, аВ2иС2– основания соответствующих высот.   Так как три высоты треугольника пересекаются в одной точке, то по теореме Чевы    Используя доказанные равенства, получим    Это и означает, что прямыеАО1,ВО2иСО3пересекаются в одной точке.
Ответ

Ответ задачи отсутствует

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет