Олимпиадные задачи по математике
Дан шестиугольник <i>ABCDEF</i>, в котором <i>AB</i> = <i>BC</i>, <i>CD</i> = <i>DE</i>, <i>EF</i> = <i>FA</i>, а углы <i>A</i> и <i>C</i> — прямые. Докажите, что прямые <i>FD</i> и <i>BE</i> перпендикулярны.
На сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> треугольника <i>ABC</i> выбраны точки <i>M</i> и <i>N</i> соответственно. Отрезки <i>AN</i> и <i>CM</i> пересекаются в точке <i>O</i>, причём <i>AO = CO</i>. Обязательно ли треугольник <i>ABC</i> равнобедренный, если а) <i>AM = CN</i>; б) <i>BM = BN</i>?
Обозначим через <i>S</i>(<i>x</i>) сумму цифр натурального числа <i>x</i>. Решить уравнения:
а) <i>x + S</i>(<i>x</i>) + <i>S</i>(<i>S</i>(<i>x</i>)) = 1993;
б) <i>x + S</i>(<i>x</i>) + <i>S</i>(<i>S</i>(<i>x</i>)) + <i>S</i>(<i>S</i>(<i>S</i>(<i>x</i>))) = 1993.
Существует ли такое натуральное число <i>A</i>, что если приписать его к самому себе справа, то полученное число окажется полным квадратом?