Олимпиадная задача по планиметрии: максимальная площадь треугольника ABC на окружностях
Задача
Две окружности пересекаются в точках P и Q. Tочка A лежит на первой окружности, но вне второй. Прямые AP и AQ пересекают вторую окружность в точках B и C соответственно. Укажите положение точки A, при котором треугольник ABC имеет наибольшую площадь.
Решение
При движении точки A по первой окружности (рис. слева) угол PAQ не меняется. Поскольку угол PAQ равен полуразности дуг BC и PQ, то угловая величина дуги BC постоянна, то есть постоянна длина хорды BC.
Cреди всех треугольников с данными стороной и противолежащим углом наибольшую площадь имеет равнобедренный (рис. справа). Cледовательно, треугольник ABC имеет наибольшую площадь, когда A лежит на линии центров данных окружностей.
Ответ
A – пересечение первой окружности с линией центров.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь