Олимпиадные задачи из источника «02 (2004 год)»
02 (2004 год)
НазадВ тетраэдре <i>DABC</i> ∠<i>ACB</i> = ∠<i>ADB</i>, ребро <i>СD</i> перпендикулярно плоскости <i>АВС</i>. В треугольнике <i>АВС</i> дана высота <i>h</i>, проведённая к стороне <i>АВ</i>, и расстояние <i>d</i> от центра описанной окружности до этой стороны. Найдите <i>CD</i>.
Трапеция <i>АВСD</i> с основаниями <i>AB</i> и <i>CD</i> вписана в окружность. Докажите, что четырёхугольник, образованный ортогональными проекциями любой точки этой окружности на прямые <i>AC, BC, AD</i> и <i>BD</i>, является вписанным.
В треугольнике <i>АВС М</i> – точка пересечения медиан, <i>О</i> – центр вписанной окружности.
Докажите, что если прямая <i>ОМ</i> параллельна стороне <i>ВС</i>, то точка <i>О</i> равноудалена от середин сторон <i>АВ</i> и <i>АС</i>.
На доске была нарисована окружность с отмеченным центром, вписанный в неё четырёхугольник и окружность, вписанная в него, также с отмеченным центром. Затем стерли четырёхугольник (сохранив одну вершину) и вписанную окружность (сохранив её центр). Восстановите какую-нибудь из стертых вершин четырёхугольника, пользуясь только линейкой и проведя не более шести линий.
Существует ли в пространстве замкнутая самопересекающаяся ломаная, которая пересекает каждое свое звено ровно один раз, причём в его середине?
Точки <i>Е</i> и <i>F</i> – середины сторон <i>ВС</i> и <i>AD</i> выпуклого четырёхугольника <i>АВСD</i>. Докажите, что отрезок <i>EF</i> делит диагонали <i>АС</i> и <i>BD</i> в одном и том же отношении.
Длина каждой стороны и каждой не главной диагонали выпуклого шестиугольника не превосходит 1. Докажите, что в этом шестиугольнике найдется главная диагональ, длина которой не превосходит <img src="/storage/problem-media/37000/problem_37000_img_2.gif" align="middle">.
Диагонали вписанного четырёхугольника <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>M</i>, ∠<i>AMB</i> = 60°. На сторонах <i>AD</i> и <i>BC</i> во внешнюю сторону построены равносторонние треугольники <i>ADK</i> и <i>BCL</i>. Прямая <i>KL</i> пересекает описанную около <i>ABCD</i> окружность в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Докажите, что <i>PK = LQ</i>.
Треугольник <i>ABC</i> вписан в окружность. Через точки <i>A</i> и <i>B</i> проведены касательные к этой окружности, которые пересекаются в точке <i>P</i>. Точки <i>X</i> и <i>Y</i> — ортогональные проекции точки <i>P</i> на прямые <i>AC</i> и <i>BC</i>. Докажите, что прямая <i>XY</i> перпендикулярна медиане треугольника <i>ABC</i>, проведенной из вершины <i>C</i>.
Дан квадрат <i>ABCD</i>. Найдите геометрическое место точек <i>M</i> таких, что ∠<i>AMB</i> = ∠<i>CMD</i>.
Постройте треугольник <i>АВС</i> по углу <i>А</i> и медианам, проведенным из вершин <i>В</i> и <i>С</i>.
В выпуклом четырехугольнике <i>АВСD</i> точка <i>Е</i> — середина <i>CD</i>, <i>F</i> — середина <i>АD</i>, <i>K</i> — точка пересечения <i>АС</i> и <i>ВЕ</i>. Докажите, что площадь треугольника <i>BKF</i> в два раза меньше площади треугольника <i>АВС</i>.