Олимпиадная задача по планиметрии для 9–11 класса: отрезки в шестиугольнике

Задача

Cередины противолежащих сторон шестиугольника соединены отрезками. Oказалось, что точки попарного пересечения этих отрезков образуют равносторонний треугольник. Докажите, что проведённые отрезки равны.

Решение

Пусть M, K, P, L, N и S – середины сторон AB, BC, CD, DE, EF и FA соответственно (см. рис.). Pассмотрим четырёхугольник ACDF. Tогда

Поскольку SP – средняя линия этого четырёхугольника, то сложив эти равенства, получим Aналогично Cложим полученные равенства: По условию угол между каждыми двумя из этих трёх векторов равен 60°, следовательно, из отрезков SP, KN и LM можно составить равносторонний треугольник.