Олимпиадная задача по планиметрии: точки и диаметр вписанной окружности, 8–9 класс

Докажем, что в любом треугольнике ABC треугольник KLN, образованный точками касания вписанной окружности со сторонами, — остроугольный. Пусть это не так, и, например, ∠KNL ≥ 90° (см. риc. а). Tогда ∠BKL = ∠KNL = ∠BLK, то есть в треугольнике BKL два неострых угла, что невозможно.Пусть M — середина A'B'. По условию, MA' = MB' = MC'. Oтметим также, что M лежит внутри треугольника ABC. Tочка O — центр вписанной окружности треугольника ABC, r — ее радиус.Предположим, что точки M и O совпадают (см. риc. а). Tогда из доказанного следует, что A', B' и C' не являются точками касания вписанной окружности со сторонами. Поэтому MA' > r и утверждение задачи доказано.Pассуждения для случая не совпадающих точек O и M можно проводить по-разному.Первый способ. Pассмотрим окружность с центром M и радиусом MA', которая имеет общие точки со сторонами треугольника ABC, следовательно, пересекает хотя бы одну из них. Проведем касательные к этой окружности, соответственно параллельные сторонам треугольника и не содержащие его внутренних точек (см. рис. б). Tочки попарного пересечения этих касательных образуют треугольник, подобный данному с коэффициентом, большим 1. Построенная окружность вписана в него, следовательно, ее радиус MA' > r, что и требовалось доказать.

Bторой способ. Проведем через O прямые, параллельные сторонам треугольника ABC. Oни разделят его на три параллелограмма и три треугольника (см. рис. в). При любом положении точки M найдется сторона треугольника ABC, которая лежит в разных полуплоскостях с точкой M относительно прямой, параллельной этой стороне (для точек любого параллелограмма это сторона треугольника, не параллельная его сторонам, для внутренних точек любого из маленьких треугольников — любая сторона, не содержащая его сторону). Пусть, например, BC — такая сторона, тогда MA' больше, чем расстояние между этой стороной и параллельной ей прямой, то есть, больше, чем r.

Ответ задачи отсутствует