Олимпиадные задачи из источника «01 (2003 год)»
01 (2003 год)
НазадНа плоскости расположен круг. Какое наименьшее количество прямых надо провести, чтобы, симметрично отражая данный круг относительно этих прямых (в любом порядке конечное количество раз), можно было накрыть им любую заданную точку плоскости?
Дан треугольник <i>АВС.</i> Точка <i>О</i><sub>1</sub> – центр прямоугольника <i>ВСDE</i>, построенного так, что сторона <i>DE</i> прямоугольника содержит вершину <i>А</i> треугольника. Точки <i>О</i><sub>2</sub> и <i>О</i><sub>3</sub> являются центрами прямоугольников, построенных аналогичным образом на сторонах <i>АС</i> и <i>АВ</i> соответственно. Докажите, что прямые <i>АО</i><sub>1</sub>, <i>ВО</i><sub>2</sub> и <i>СО</i><sub>3</sub> пересекаются в одной точке.
В треугольнике <i>ABC</i> <i>M</i> – точка пересечения медиан, <i>O</i> – центр вписанной окружности, <i>A'</i>, <i>B'</i>, <i>C'</i> – точки ее касания со сторонами <i>BC</i>, <i>CA</i>, <i>AB</i> соответственно. Докажите, что, если <i>CA' </i>= <i>AB</i>, то прямые <i>OM</i> и <i>AB</i> перпендикулярны.
Внутри отрезка <i>АС</i> выбрана произвольная точка <i>В</i> и построены окружности с диаметрами <i>АВ</i> и <i>ВС</i>. На окружностях (в одной полуплоскости относительно <i>АС</i>) выбраны соответственно точки <i>M</i> и <i>L</i> так, что ∠<i>MBA</i> = ∠<i>LBC</i>. Точки <i>K</i> и <i>F</i> отмечены соответственно на лучах <i>ВМ</i> и <i>BL</i> так, что
<i>BK = BC</i> и <i>BF = AB</i>. Докажите, что точки <i>M, K, F</i> и <i>L</i> лежат на одной окружности.
В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i> ∠<i>ABC</i> = 90°, ∠<i>BAC</i> = ∠<i>CAD, AC = AD, DH</i> – высота треугольника <i>ACD</i>.
В каком отношении прямая <i>BH</i> делит отрезок <i>CD</i>?
Постройте треугольник по стороне, противолежащему углу и медиане, проведенной к другой стороне (<i>исследование вопроса о количестве решений не требуется</i>).