Олимпиадная задача по планиметрии для 9–10 класса от Заславского А. А.

Первый способ. Пусть D и E – середины сторон AC и BC, тогда M – точка пересечения отрезков AE и BD (см. рис. а). Используя равенство отрезков касательной, проведенных из одной точки к окружности, получим, что CA' = ½(AC + BC – AB) = AB (по условию). Следовательно, AD + BE = ½(AC + BC) = 1,5AB = AB + DE, то есть, трапеция ABЕD описана вокруг вписанной окружности треугольника ABC. Пусть P – точка касания окружности с прямой DE. Тогда AC' = AB  – BC' = CA' – BA' = (0,5BC + EA') – (0,5BC – EA') = 2EA' = 2EP. Рассмотрим гомотетию с центром М и коэффициентом k = –0,5: образом точки А является точка Е, а образом точки С' – точка Р, поэтому, C'P проходит через точку M. Кроме того, отрезок C'P – общий перпендикуляр к основаниям АВ и DE трапеции, проходящий через точку О, значит, OM и AB перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Второй способ. Пусть CK – медиана, а СH – высота треугольника (см. рис. б), AB' = AC' = m, BA' = BC' = n, BH = x, тогда CB' = CA' = AB = = m + n. Так как AC² – AH² = СH² = CB² – BH², то (2m + n)² – ((m + n) – x)² =  (m + 2n)² – x². Решив это уравнение, получим, что x = 2n – m, тогда, C'H = BC' – BH = n – x = m – n; C'K = AC' – 0,5AB = m – 0,5(m + n) = 0,5(m – n) = 0,5C'H.Проведем перпендикуляр к АВ из точки С', который пройдет через центр О вписанной окружности и пересечет CK в точке M'. Так как CM': M'K = HC' : C'K = 2, то M' совпадает с М, значит, OM и AB перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Ответ задачи отсутствует