Олимпиадная задача по планиметрии для 8-9 классов от Акопяна А. В.: отражения в равностороннем треугольнике

Решение 1:   Пусть O – центр треугольника, M и K – точки пересечения прямой l со сторонами AB и BC соответственно, C₁ и A₁ – середины сторон, M₁ и K₁ – образы точек M и K при указанной симметрии (рис. слева). Докажем, что O – центр вневписанной окружности треугольника M₁BK₁, откуда следует утверждение задачи.

  Воспользуемся известным фактом:

  сторона AC треугольника ABC видна из центра I_B вневписанной окружности, касающейся стороны AC, под углом  90° – ¹/₂ ∠B.

  Очевидно, верно и обратное:

  если точка I_B лежит на продолжении биссектрисы угла B треугольника ABC и  ∠AI_BC = 90°  – ¹/₂ ∠B,  то I_B – центр вневписанной окружности треугольника ABC.

  Так как BO – биссектриса угла B, то достаточно доказать, что  ∠M₁OK₁ = 60°.  Заметим, что  ∠OM₁M + ∠OK₁K = ∠BMK + ∠BKM = 120°.  Тогда из четырёхугольника M₁BK₁O: ∠M₁OK₁ = 360° – (180° – ∠OM₁M) – (180° – ∠OK₁K) – 60° = 60°.

             

Решение 2:   Отразим отрезок MK относительно высот AA₁ и CC₁ треугольника ABC (рис. справа). Получим отрезки K₁M₂ и M₁K₂ (точки K₂ и M₂ лежат на стороне AC). Из симметрии  OM₁ = OM = OM₂  и  OK₁ = OK = OK₂.  Кроме того,  ∠M₁OK₁ = ∠M₂OK₂,  поэтому треугольники M₁OK₁ и M₂OK₂ равны, а следовательно, равны (и равны радиусу окружности) их высоты, проведённые из O.

Ответ задачи отсутствует