Олимпиадные задачи из источника «04 (2006 год)»

Даны треугольник <i>ABC</i> и произвольная точка <i>P, A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁  – вторые точки пересечения прямых <i>AP, BP</i> и <i>CP</i> с описанной окружностью треугольника <i>ABC, A</i>₂, <i>B</i>₂ и <i>C</i>₂ – точки, симметричные <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ относительно прямых <i>BC</i>, <i>CA</i> и <i>AB</i> соответственно. Докажите, что треугольники <i>A</i><sub>1</sub...

Oснованием пирамиды служит выпуклый четырехугольник. Oбязательно ли существует сечение этой пирамиды, не пересекающее основание и являющееся вписанным четырехугольником?

Четырёхугольник <i>ABCD</i> вписан в окружность, центр <i>O</i> которой лежит внутри него. Kасательные к окружности в точках <i>A</i> и <i>C</i> и прямая, симметричная <i>BD</i> относительно точки <i>O</i>, пересекаются в одной точке. Докажите, что произведения расстояний от <i>O</i> до противоположных сторон четырёхугольника равны.

Hа плоскости даны две окружности <i>C</i>₁ и <i>C</i>₂ с центрами <i>O</i>₁ и <i>O</i>₂ и радиусами 2<i>R</i> и <i>R</i> соответственно (<i>O</i>₁<i>O</i>₂ <i>></i> 3<i>R</i>). Hайдите геометрическое место центров тяжести треугольников, у которых одна вершина лежит на <i>C</i>₁, а две другие — на <i>C</i>₂.

Шесть отрезков таковы, что из любых трех можно составить треугольник. Bерно ли, что из этих отрезков можно составить тетраэдр?

Дан произвольный треугольник <i>ABC</i>. Постройте прямую, разбивающую его на два многоугольника, у которых равны радиусы описанных окружностей.

B остроугольном треугольнике ровно один из углов равен 60°. Докажите, что прямая, проходящая через центр описанной окружности и точку пересечения медиан треугольника, отсекает от него равносторонний треугольник.

Hа сторонах треугольника <i>ABC</i> во внешнюю сторону построены правильные треугольники <i>ABC</i>₁, <i>BCA</i>₁, <i>CAB</i>₁. Hа отрезке <i>A</i>₁<i>B</i>₁ во внешнюю сторону треугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁ построен правильный треугольник <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₂. Докажите, что <i>C</i> – середина отрезка <i>C</i>₁<i>C</i><...

Дан произвольный треугольник <i>ABC</i>. Постройте прямую, проходящую через вершину <i>B</i> и делящую его на два треугольника, радиусы вписанных окружностей которых равны.

Hа сторонах <i>AB</i>, <i>BC</i> и <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> выбраны точки <i>C</i>', <i>A</i>' и <i>B</i>' соответственно так, что угол <i>A</i>'<i>C</i>'<i>B</i>' — прямой. Докажите, что отрезок <i>A</i>'<i>B</i>' длиннее диаметра вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>.

Oпределите отношение сторон прямоугольника, описанного около уголка из пяти клеток.

Диагонали вписанного четырехугольника <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>K</i>.

Докажите, что касательная в точке <i>K</i> к описанной окружности треугольника <i>ABK</i>, параллельна <i>CD</i>.