Олимпиадные задачи из источника «Журнал "Квант"» для 1-7 класса
Журнал "Квант"
НазадПутешественник посетил деревню, в котором каждый человек либо всегда говорит правду, либо всегда лжёт. Жители деревни стали в круг, и каждый сказал путешественнику про соседа справа, правдив ли он. На основании этих сообщений путешественник смог однозначно определить, какую долю от всех жителей деревни составляют лжецы. Определите и вы, чему она равна.
a) Восемь школьников решали восемь задач. Оказалось, что каждую задачу решили пять школьников. Докажите, что найдутся такие два школьника, что каждую задачу решил хотя бы один из них.
б) Если каждую задачу решили четыре ученика, то может оказаться, что таких двоих не найдётся.
Какое наибольшее число коней можно расставить на доске 5×5 клеток так, чтобы каждый из них бил ровно двух других?
В треугольнике <i>ABC</i> отрезки <i>CM</i> и <i>BN</i> – медианы, <i>P</i> и <i>Q</i> – точки соответственно на <i>AB</i> и <i>AC</i> такие, что биссектриса угла <i>C</i> треугольника одновременно является биссектрисой угла <i>MCP</i>, а биссектриса угла <i>B</i> – биссектрисой угла <i>NBQ</i>. Можно ли утверждать, что треугольник <i>ABC</i> равнобедренный, если
а) <i>BP = CQ</i>;
б) <i>AP = AQ</i>;
в) <i>PQ || BC</i>?
Можно ли бумажный круг с помощью ножниц перекроить в квадрат той же площади? (Разрешается сделать конечное число разрезов по прямым линиям и дугам окружностей.)
Вдоль лыжной трассы расставлено в ряд бесконечное число кресел, занумерованных по порядку: 1, 2, 3, ... Кассирша продала билеты на первые <i>m</i> мест, но на некоторые места она продала не один билет, и общее число проданных билетов <i>n > m</i>. Зрители входят на трассу по одному. Каждый, подходя к месту, указанному на его билете, занимает его, если оно свободно, а если оно занято, говорит "Ох!" и идёт к следующему по номеру месту. Если оно свободно, то занимает его, если же занято, снова говорит "Ох!" и двигается дальше – до первого свободного места. Докажите, что общее количество "охов" не зависит от того, в каком порядке зрители выходят на трассу.
а) К любому ли шестизначному числу, начинающемуся с цифры 5, можно приписать еще 6 цифр так, чтобы полученное 12-значное число было полным квадратом?
б) Тот же вопрос про число, начинающееся с 1.
в) Найдите для каждого <i>n</i> такое наименьшее <i>k = k</i>(<i>n</i>), что к каждому <i>n</i>-значному числу можно приписать еще <i>k</i> цифр так, чтобы полученное (<i>n+k</i>)-значное число было полным квадратом.
Рассматриваются всевозможные шестизвенные замкнутые ломаные, все вершины которых лежат на окружности.
а) Нарисуйте такую ломаную, которая имеет наибольшее возможное число точек самопересечения.
б) Докажите, что большего числа самопересечений такая ломаная не может иметь.
В компанию из <i>n</i> человек пришёл журналист. Ему известно, что в этой компании есть человек <i>Z</i>, который знает всех остальных членов компании, но его не знает никто. Журналист может к каждому члену компании обратиться с вопросом: "Знаете ли вы такого-то?"
а) Может ли журналист установить, кто из компании есть <i>Z</i>, задав менее <i>n</i> вопросов?
б) Найдите наименьшее количество вопросов, достаточное для того, чтобы наверняка найти <i>Z</i>, и докажите, что меньшим числом вопросов обойтись нельзя.
(Все отвечают на вопросы правдиво. Одному человеку можно задавать несколько вопросов.)
На плоскости расположен квадрат и невидимыми чернилами нанесена точка <i>P</i>. Человек в специальных очках видит точку. Если провести прямую, то он отвечает на вопрос, по какую сторону от неё лежит <i>P</i> (если <i>P</i> лежит на прямой, то он говорит, что <i>P</i> лежит на прямой).
Какое наименьшее число таких вопросов необходимо задать, чтобы узнать, лежит ли точка <i>P</i> внутри квадрата?
Геологи взяли в экспедицию 80 банок консервов, веса которых все известны и различны (имеется список). Через некоторое время надписи на консервах стали нечитаемыми, и только завхоз знает, где что. Он может это всем доказать (то есть обосновать, что в какой банке находится), не вскрывая консервов и пользуясь только сохранившимся списком и двухчашечными весами со стрелкой, показывающей разницу весов.
Докажите, что для этой цели ему
а) достаточно четырёх взвешиваний и
б) недостаточно трёх.
Бесконечная последовательность чисел <i>x<sub>n</sub></i> определяется условиями: <i>x</i><sub><i>n</i>+1</sub> = 1 – |1 – 2<i>x<sub>n</sub></i>|, причём 0 ≤ <i>x</i><sub>1</sub> ≤ 1.
а) Докажите, что последовательность, начиная с некоторого места, периодическая в том и только в том случае, когда <i>x</i><sub>1</sub> рационально.
б) Сколько существует значений <i>x</i><sub>1</sub>, для которых эта последовательность – периодическая с периодом <i>T</i> (для каждого <i>T</i> = 2, 3, ...)?
Через <i>S</i>(<i>n</i>) обозначим сумму цифр числа <i>n</i> (в десятичной записи).
Существуют ли три таких различных натуральных числа <i>m, n</i> и <i>p</i>, что <i>m + S</i>(<i>m</i>) = <i>n+S</i>(<i>n</i>) = <i>p + S</i>(<i>p</i>)?
В строчку выписано 10 целых чисел. Вторая строчка находится так: под каждым числом <i>A</i> первой строчки пишется число, равное количеству чисел первой строчки, которые больше <i>A</i> и при этом стоят правее <i>A</i>. По второй строчке аналогично строится третья строчка и т. д.
а) Докажите, что все строчки, начиная с некоторой – нулевые (состоят из сплошных нулей).
б) Каково максимально возможное число ненулевых строчек (содержащих хотя бы одно число, отличное от нуля)?
Три шахматиста <i>A, B</i> и <i>C</i> сыграли матч-турнир (каждый с каждым сыграл одинаковое число партий). Может ли случиться, что по числу очков <i>A</i> занял первое место, <i>C</i> – последнее, а по числу побед, наоборот, <i>A</i> занял последнее место, <i>C</i> – первое (за победу присуждается одно очко, за ничью – пол-очка)?
Имеется 100 серебряных монет, упорядоченных по весу, и 101 золотая монета, они также упорядочены по весу. Известно, что все монеты по весу различны. В нашем распоряжении – двухчашечные весы, позволяющие про каждые две монеты установить, какая тяжелее. Как за наименьшее число взвешиваний найти монету, занимающую среди всех монет 101-е место?
Круг разбит на <i>n</i> секторов, в некоторых секторах стоят фишки – всего фишек <i>n</i> + 1. Затем позиция подвергается преобразованиям. Один шаг преобразования состоит в следующем: берутся какие-нибудь две фишки, стоящие в одном секторе, и переставляются в разные стороны в соседние секторы. Докажите, что через некоторое число шагов не менее половины секторов будет занято.
<i>n</i> чисел (<i>n</i> > 1) называются <i>близкими</i>, если каждое из них меньше чем сумма всех чисел, делённая на <i>n</i> – 1. Пусть <i>a, b, c, ... – n</i> близких чисел, <i>S</i> – их сумма. Докажите, что
а) все они положительны;
б) <i>a + b > c</i>;
в) <i>a + b > <sup>S</sup></i>/<sub><i>n</i>–1</sub>.
Докажите, что если произведение двух положительных чисел больше их суммы, то сумма больше 4.
Докажите, что при любом натуральном <i>n</i> <img align="middle" src="/storage/problem-media/98041/problem_98041_img_2.gif">
а) Докажите, что если в 3<i>n</i> клетках таблицы 2<i>n</i>×2<i>n</i> расставлены 3<i>n</i> звёздочек, то можно вычеркнуть <i>n</i> столбцов и <i>n</i> строк так, что все звёздочки будут вычеркнуты.
б) Докажите, что в таблице 2<i>n</i>×2<i>n</i> можно расставить 3<i>n</i> + 1 звёздочку так, что при вычеркивании любых <i>n</i> строк и любых <i>n</i> столбцов остаётся невычеркнутой хотя бы одна звёздочка.
Докажите, что предпоследняя цифра любой степени числа 3 чётна.
Восемь волейбольных команд провели турнир в один круг (каждая команда сыграла с каждой один раз). Доказать, что можно выделить такие четыре команды <i>A, B, C</i> и <i>D</i>, что <i>A</i> выиграла у <i>B, C</i> и <i>D</i>; <i>B</i> выиграла у <i>C</i> и <i>D, C</i> выиграла у <i>D</i>.
В таблицу 10×10 нужно записать в каком-то порядке цифры 0, 1, 2, 3, ..., 9 так, что каждая цифра встречалась бы 10 раз.
а) Можно ли это сделать так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце встречалось не более четырёх различных цифр?
б) Докажите, что найдётся строка или столбец, в которой (в котором) встречается не меньше четырёх различных чисел.
На острове Серобуромалин обитают 13 серых, 15 бурых и 17 малиновых хамелеонов. Если встречаются два хамелеона разного цвета, то они одновременно меняют свой цвет на третий (серый и бурый становятся оба малиновыми и т.п.). Может ли случиться так, что через некоторое время все хамелеоны будут одного цвета?