Олимпиадные задачи по математике

Даны <i>n</i> точек на плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Через каждую пару точек проведена прямая. Какое минимальное число попарно непараллельных прямых может быть среди них?

В вершинах квадрата сидят четыре кузнечика. Они прыгают в произвольном порядке, но не одновременно. Каждый кузнечик прыгает в такую точку, которая симметрична точке, в которой он находился до прыжка, относительно центра тяжести трёх других кузнечиков. Может ли в какой-то момент один кузнечик приземлиться на другого? (Кузнечики точечные.)

Десятичные записи натуральных чисел выписаны подряд, начиная с единицы, до некоторого <i>n</i> включительно:   12345678910111213...(<i>n</i>). Существует ли такое <i>n</i>, что в этой записи все десять цифр встречаются одинаковое количество раз?

Число рёбер многогранника равно 100.

  а) Какое наибольшее число рёбер может пересечь плоскость, не проходящая через его вершины, если многогранник выпуклый?

  б) Докажите, что для невыпуклого многогранника это число может равняться 96,

  в) но не может равняться 100.

В таблице <i>m</i> строк, <i>n</i> столбцов. <i>Горизонтальным ходом</i> называется такая перестановка элементов таблицы, при которой каждый элемент остаётся в той строке, в которой он был и до перестановки; аналогично определяется <i>вертикальный ход</i> ("строка" в предыдущем определении заменяется на "столбец"). Укажите такое <i>k</i>, что за <i>k</i> ходов (любых) можно получить любую перестановку элементов таблицы, но существует такая перестановка, которую нельзя получить за меньшее число ходов.

Числовая последовательность определяется условиями:   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98159/problem_98159_img_2.gif">

Сколько полных квадратов встречается среди первых членов этой последовательности, не превосходящих 1000000?

Рассматривается последовательность квадратов на плоскости. Первые два квадрата со стороной 1 расположены рядом (второй правее) и имеют одну общую вертикальную сторону. Нижняя сторона третьего квадрата со стороной 2 содержит верхние стороны первых двух квадратов. Правая сторона четвёртого квадрата со стороной 3 содержит левые стороны первого и третьего квадратов. Верхняя сторона пятого квадрата со стороной 5 содержит нижние стороны первого, второго и четвертого квадратов. Далее двигаемся по спирали бесконечно, обходя рассмотренные квадраты против часовой стрелки так, что сторона нового квадрата составлена из сторон трёх ранее рассмотренных. Докажите, что центры всех этих квадратов принадлежат двум прямым.  

Числовая последовательность определяется условиями:   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98152/problem_98152_img_2.gif">  

Докажите, что среди членов этой последовательности бесконечно много полных квадратов.

В банде 101 террорист. Все вместе они в вылазках ни разу не участвовали, а каждые двое встречались в вылазках ровно по разу.

Докажите, что один из террористов участвовал не менее чем в 11 различных вылазках.

Имеется 100 серебряных монет, упорядоченных по весу, и 101 золотая монета, они также упорядочены по весу. Известно, что все монеты по весу различны. В нашем распоряжении – двухчашечные весы, позволяющие про каждые две монеты установить, какая тяжелее. Как за наименьшее число взвешиваний найти монету, занимающую среди всех монет 101-е место?

Даны три треугольника: <i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>A</i>₃, <i>B</i>₁<i>B</i>₂<i>B</i>₃, <i>C</i>₁<i>C</i>₂<i>C</i>₃. Известно, что их центры тяжести (точки пересечения медиан) лежат на одной прямой, а никакие три из девяти вершин этих треугольников не лежат на одной прямой. Рассматриваются 27 треугольников вида <i>A_iB_jC_k</i>, где <i>i, j, k</i> независимо пробегают значения 1, 2, 3. Докажите, что...

Имеется 50 серебряных монет, упорядоченных по весу, и 51 золотая монета, они также упорядочены по весу. Известно, что все монеты по весу различны. В нашем распоряжении – двухчашечные весы, позволяющие про каждые две монеты установить, какая тяжелее. Как за семь взвешиваний найти монету, занимающую среди всех монет 51-е место?

Можно ли разрезать плоскость на многоугольники, каждый из которых переходит в себя при повороте на ^360°/₇ вокруг некоторой точки и все стороны которых больше 1 см?

Ищутся такие оканчивающиеся на 5 натуральные числа, что их цифры монотонно не убывают (то есть каждая цифра, начиная со второй, не меньше предыдущей цифры), и в десятичной записи их квадрата цифры тоже монотонно не убывают. Докажите, что таких чисел бесконечно много.

В соревновании участвуют 16 боксёров. Каждый боксёр в течение одного дня может проводить только один бой. Известно, что все боксёры имеют разную силу, и что сильнейший всегда выигрывает. Докажите, что за 10 дней можно определить место каждого боксёра.

(Расписание каждого дня соревнований составляется вечером накануне и в день соревнований не изменяется.)

Ищутся такие натуральные числа, оканчивающиеся на 5, что в их десятичной записи цифры монотонно не убывают (то есть каждая цифра, начиная со второй, не меньше предыдущей цифры), и в десятичной записи их квадрата цифры тоже монотонно не убывают.

  а) Найдите четыре таких числа.

  б) Докажите, что таких чисел бесконечно много.

Рассматривается конечное множество <i>M</i> единичных квадратов на плоскости. Их стороны параллельны осям координат (разрешается, чтобы квадраты пересекались). Известно, что для любой пары квадратов расстояние между их центрами не больше 2. Докажите, что существует единичный квадрат (не обязательно из множества <i>M</i>) со сторонами, параллельными осям, пересекающийся хотя бы по точке с каждым квадратом множества <i>M</i>.

Числа 1, 2, 3, ..., <i>N</i> записываются в строчку в таком порядке, что если где-то (не на первом месте) записано число <i>i</i>, то где-то слева от него встретится хотя бы одно из чисел  <i>i</i> + 1  и  <i>i</i> – 1.  Сколькими способами это можно сделать?

Какое наименьшее количество клеток нужно отметить на шахматной доске, чтобы

  1) среди отмеченных клеток не было соседних (имеющих общую сторону или общую вершину),

  2) добавление к этим клеткам любой одной клетки нарушало пункт 1?

Куб 20×20×20 составлен из 2000 кирпичей размером 2×2×1.

Докажите, что его можно проткнуть иглой так, чтобы игла прошла через две противоположные грани и не уткнулась в кирпич.

Город представляет собой бесконечную клетчатую плоскость (линии – улицы, клеточки – кварталы). На одной улице через каждые 100 кварталов на перекрестках стоит по милиционеру. Где-то в городе есть бандит (местонахождение его неизвестно, но перемещается он только по улицам). Цель милиции – увидеть бандита. Есть ли у милиции способ (алгоритм) наверняка достигнуть своей цели? (Максимальные скорости милиции и бандита какие-то конечные, но не известные нам величины, милиция видит вдоль улиц во все стороны на бесконечное расстояние.)

На шахматной доске выбрана клетка. Сумма квадратов расстояний от её центра до центров всех чёрных клеток обозначена через <i>a</i>, а до центров всех белых клеток – через <i>b</i>. Докажите, что  <i>a = b</i>.

Клетки шахматной доски 8×8 как-то занумерованы числами от 1 до 32, причём каждое число использовано дважды. Докажите, что можно так выбрать 32 клетки, занумерованные разными числами, что на каждой вертикали и на каждой горизонтали найдётся хотя бы по одной выбранной клетке.

Берутся всевозможные непустые подмножества из множества чисел   1, 2, 3, ..., <i>n</i>.  Для каждого подмножества берётся величина, обратная к произведению всех его чисел. Найти сумму всех таких обратных величин.

Последовательность чисел  <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ...  такова, что  <i>x</i>₁ = ½  и   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/97884/problem_97884_img_2.gif">   для всякого натурального <i>k</i>.

Найдите целую часть суммы   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/97884/problem_97884_img_3.gif">