Олимпиадные задачи по математике
<i>n</i> чисел (<i>n</i> > 1) называются <i>близкими</i>, если каждое из них меньше чем сумма всех чисел, делённая на <i>n</i> – 1. Пусть <i>a, b, c, ... – n</i> близких чисел, <i>S</i> – их сумма. Докажите, что
а) все они положительны;
б) <i>a + b > c</i>;
в) <i>a + b > <sup>S</sup></i>/<sub><i>n</i>–1</sub>.
На доске выписаны числа от 1 до 50. Разрешено стереть любые два числа и вместо них записать одно число – модуль их разности. После 49-кратного повторения указанной процедуры на доске останется одно число. Какое это может быть число?
Найдите наименьшее число вида а) |11<sup><i>k</i></sup> – 5<sup><i>n</i></sup>|; б) |36<sup><i>k</i></sup> – 5<sup><i>n</i></sup>|; в) |53<sup><i>k</i></sup> – 37<sup><i>n</i></sup>|, где <i>k</i> и <i>n</i> – натуральные числа.
Дано<i>n</i>фишек нескольких цветов, причём фишек каждого цвета не<nobr>более <i>n</i>/2.</nobr>Докажите, что их можно расставить на окружности так, чтобы никакие две фишки одинакового цвета не стояли рядом.
Для любого натурального числа <i>n</i> сумма <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73773/problem_73773_img_2.gif"> делится <nobr>на 2<sup><i>n</i>–1</sup>. Докажите это. </nobr>