Олимпиадные задачи из источника «Прасолов В.В., Задачи по планиметрии» для 8 класса - сложность 1 с решениями
Прасолов В.В., Задачи по планиметрии
НазадЗамостите обычную шахматную доску плитками, изображенными на рис.
<div align="center"><img src="/storage/problem-media/58275/problem_58275_img_2.gif" border="1"></div>
Докажите, что четырехугольник (с границей и внутренностью) можно разбить на отрезки, т. е. представить в виде объединения непересекающихся отрезков.
Разрежьте произвольный треугольник на части, из которых можно составить треугольник, симметричный исходному относительно некоторой прямой (части переворачивать нельзя).
Разрежьте произвольный треугольник на 3 части и сложите из них прямоугольник.
На плоскости дано <i>n</i>попарно непараллельных прямых. Докажите, что угол между некоторыми двумя из них не больше180<sup><tt>o</tt></sup>/<i>n</i>.
Докажите, что если в треугольнике медиана и биссектриса совпадают, то треугольник равнобедренный.
Внутри прямоугольника<i>ABCD</i>взята точка <i>M</i>. Докажите, что существует выпуклый четырехугольник с перпендикулярными диагоналями длины<i>AB</i>и <i>BC</i>, стороны которого равны<i>AM</i>,<i>BM</i>,<i>CM</i>,<i>DM</i>.
Две окружности радиуса <i>R</i>пересекаются в точках <i>M</i>и <i>N</i>. Пусть <i>A</i>и <i>B</i> — точки пересечения серединного перпендикуляра к отрезку<i>MN</i>с этими окружностями, лежащие по одну сторону от прямой<i>MN</i>. Докажите, что<i>MN</i><sup>2</sup>+<i>AB</i><sup>2</sup>= 4<i>R</i><sup>2</sup>.
Две окружности радиуса <i>R</i>касаются в точке <i>K</i>. На одной из них взята точка <i>A</i>, на другой — точка <i>B</i>, причем$\angle$<i>AKB</i>= 90<sup><tt>o</tt></sup>. Докажите, что<i>AB</i>= 2<i>R</i>.
Докажите, что при параллельном переносе окружность переходит в окружность.
<i>ABC</i>- прямоугольный треугольник с прямым углом<i>C</i>. Докажите, что <i>c</i><sup>n</sup>><i>a</i><sup>n</sup>+<i>b</i><sup>n</sup>при <i>n</i>> 2.
Две высоты треугольника больше 1. Докажите, что его площадь больше 1/2.
Докажите, что в любом треугольнике сумма длин высот меньше периметра.
Докажите, что если <i>a</i> > <i>b</i>, то <i>m</i><sub>a</sub><<i>m</i><sub>b</sub>.
На отрезке длиной 1 дано <i>n</i>точек. Докажите, что сумма расстояний от некоторой точки отрезка до этих точек не меньше <i>n</i>/2.
Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки до трех вершин равнобедренной трапеции больше расстояния от этой точки до четвертой вершины.
Докажите, что если два противоположных угла четырехугольника тупые, то диагональ, соединяющая вершины этих углов, короче другой диагонали.
В трапеции <i>ABCD</i>углы при основании <i>AD</i>удовлетворяют неравенствам $\angle$<i>A</i><$\angle$<i>D</i>< 90<sup><tt>o</tt></sup>. Докажите, что тогда <i>AC</i>><i>BD</i>.
В четырехугольнике <i>ABCD</i>углы <i>A</i>и <i>B</i>равны, a $\angle$<i>D</i>>$\angle$<i>C</i>. Докажите, что тогда <i>AD</i><<i>BC</i>.
В. треугольнике длины двух сторон равны 3, 14 и 0, 67. Найдите длину третьей стороны, если известно, что она является целым числом.
<i>a</i>,<i>b</i>и<i>c</i>- длины сторон произвольного треугольника. Докажите, что <i>a</i><sup>2</sup>+<i>b</i><sup>2</sup>+<i>c</i><sup>2</sup>< 2(<i>ab</i>+<i>bc</i>+<i>ca</i>).
<i>a</i>,<i>b</i>и<i>c</i>- длины сторон произвольного треугольника. Докажите, что <i>a</i>=<i>y</i>+<i>z</i>,<i>b</i>=<i>x</i>+<i>z</i>и <i>c</i>=<i>x</i>+<i>y</i>, где <i>x</i>,<i>y</i>и <i>z</i> — положительные числа.
Докажите, что (<i>a</i>+<i>b</i>-<i>c</i>)/2 <<i>m</i><sub>c</sub>< (<i>a</i>+<i>b</i>)/2, где<i>a</i>,<i>b</i>и<i>c</i>- длины сторон произвольного треугольника,<i>m</i><sub>c</sub>- медиана к стороне<i>c</i>.
Радиусы двух окружностей равны <i>R</i>и <i>r</i>, а расстояние между их центрами равно <i>d</i>. Докажите, что эти окружности пересекаются тогда и только тогда, когда |<i>R</i>-<i>r</i>| <<i>d</i><<i>R</i>+<i>r</i>.
Докажите, что $\angle$<i>ABC</i>> 90<sup><tt>o</tt></sup>тогда и только тогда, когда точка <i>B</i>лежит внутри окружности с диаметром <i>AC</i>.